导数解析函数y=(64√x+60)*27x的性质及图像

本文主要计算函数y=(64√x+60)*27x的定义域、单调性、凸凹性、极限等性质，并用导数工具解析函数的单调和凸凹区间，同时简要画出函数的示意图。

方法/步骤

1、※.函数的定义域：

函数中含有根式，则有：x≥0 所以函数的定义域为：[0，+∞)。

2、※.函数的单调性

思路一：通过两个函数单调性来判断。

因为函数y1=64√x+60为根式函数，在定义域上为增函数。函数y2=27x为正比例函数，系数为正数，所以也为增函数，则二者函数的乘积y=y1*y2为增函数。

思路二：本题也通过导数知识来解析函数的单调性，步骤如下：

y=(64√x+60)*27x,

对函数自变量求导，得：

dy/dx=27*[64*x/2√x+(64√x+60)*1],

=27*(192*√x /2 +60)＞0，

所以函数在定义域上为增函数。

3、※.函数的极限

lim(x→0）(64√x+60)*27x=0。

lim(x→+∞）(64√x+60)*27x= +∞。

※.函数的凸凹性

∵dy/dx=27*(192*√x /2 +60)，

∴d^2y/dx^2

=27*(192/2*1/2*1/√x),

=27*192/4*1/√x＞0.

即函数y在定义域上为凹函数。

4、综合以上函数的定义域、值域、单调性和凸凹及极限等性质，通过五点图描点法，可画出函数的图像示意图如下：

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