方程58x²+78y²+50z²=3的一阶和二阶导数

本文通过全微分法、直接求导、构造函数求导以及多元函数求导法则，介绍计算椭球方程58x²+78y²+50z²=3的一阶和二阶导数的过程和主要步骤。

方法/步骤

1、全微分求一阶导数

∵58x²+78y²+50z²=3,

∴116xdx+156ydy+100zdz=0，即：

50zdz=-58xdx-78ydy,

dz=-29xdx/25z-39ydy/25z，所以：

dz/dx=-29x/25z，dz/dy=-39y/25z。

2、直接求导法：

58x²+78y²+50z²=3,

对方程方程两边同时对x求导，得：

116x+0+100zdz/dx=0

50zdz/dx=-58x，即：dz/dx=-29x/25z.

再对方程两边同时对y求导，得：

0+156y+100zdz/dy=0

50zdz/dy=-78y，即：dz/dy=-39y/25z.

3、构造函数求导：

F(x,y,z)=58x²+78y²+50z²-3，则：

Fz=100z，Fx=116x，Fy=156y,则：

dz/dx=-Fx/Fz=-116x/100z=-29x/25z;

dz/dy=-Fy/Fz=-156y/100z=-39y/25z.

4、(1)求二阶偏导数∂²z/∂²x:

∵dz/dx=-29x/25z，

∴∂²z/∂²x=-29/25*(z+xdz/dx)/z²

=-29/25*(z+29x²/25z)/z²

=-29/625*(25z²+29x²)/z³.

5、(2)求二阶偏导数∂²z/∂²y:

∵dz/dy=-39y/25z.

∴∂²z/∂²y=-39/25*(z+ydz/dy)/z²

=-39/25*(z+39y²/25z)/z²

=-39/625*(25z²+39y²)/z³.

6、(3)求二阶偏导数∂²z/∂x∂y:

∵dz/dx=-29x/25z，dz/dy=-39y/25z.

∴∂²z/∂x∂y =29/25*(xdz/dy)/z²

=29/25*(-39xy/25z)/z²

=-1131/625*xy/z³.

本文来自于百度作者：吉禄学阁，仅代表原作者个人观点。本站旨在传播优质文章，无商业用途。如不想在本站展示可联系删除