64x²+60y²+55z²=5的一阶和二阶导数具体计算

本文通过全微分法、直接求导、构造函数求导以及多元函数求导法则，介绍计算椭球方程的一阶和二阶导数的过程和主要步骤。

方法/步骤

1、全微分求一阶导数

∵64x²+60y²+55z²=5,

∴128xdx+120ydy+110zdz=0，即：

55zdz=-64xdx-60ydy,

dz=-64xdx/55z-12ydy/11z，所以：

dz/dx=-64x/55z，dz/dy=-12y/11z。

2、直接求导法：

64x²+60y²+55z²=5,

对方程方程两边同时对x求导，得：

128x+0+110zdz/dx=0

55zdz/dx=-64x，即：dz/dx=-64x/55z.

再对方程两边同时对y求导，得：

0+120y+110zdz/dy=0

55zdz/dy=-60y，即：dz/dy=-12y/11z.

3、构造函数求导：

F(x,y,z)=64x²+60y²+55z²-5，则：

Fz=110z，Fx=128x，Fy=120y,则：

dz/dx=-Fx/Fz=-128x/110z=-64x/55z;

dz/dy=-Fy/Fz=-120y/110z=-12y/11z.

4、(1)求二阶偏导数∂²z/∂²x:

∵dz/dx=-64x/55z，

∴∂²z/∂²x=-64/55*(z+xdz/dx)/z²

=-64/55*(z+64x²/55z)/z²

=-64/3025*(55z²+64x²)/z³.

5、(2)求二阶偏导数∂²z/∂²y:

∵dz/dy=-12y/11z.

∴∂²z/∂²y=-12/11*(z+ydz/dy)/z²

=-12/11*(z+12y²/11z)/z²

=-12/121*(11z²+12y²)/z³.

6、(3)求二阶偏导数∂²z/∂x∂y:

∵dz/dx=-64x/55z，dz/dy=-12y/11z.

∴∂²z/∂x∂y =64/55*(xdz/dy)/z²

=64/55*(-12xy/11z)/z²

=-768/605*xy/z³.

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