计算方程33x²+16y²+87z²=19的一阶和二阶导数

本文通过全微分法、直接求导、构造函数求导以及多元函数求导法则，介绍计算椭球方程的一阶和二阶导数的过程和主要步骤。

方法/步骤

1、全微分求一阶导数

∵33x²+16y²+87z²=19,

∴66xdx+32ydy+174zdz=0，即：

87zdz=-33xdx-16ydy,

dz=-11xdx/29z-16ydy/87z，所以：

dz/dx=-11x/29z，dz/dy=-16y/87z。

2、直接求导法：

33x²+16y²+87z²=19,

对方程方程两边同时对x求导，得：

66x+0+174zdz/dx=0

87zdz/dx=-33x，即：dz/dx=-11x/29z.

再对方程两边同时对y求导，得：

0+32y+174zdz/dy=0

87zdz/dy=-16y，即：dz/dy=-16y/87z.

3、构造函数求导：

F(x,y,z)=33x²+16y²+87z²-19，则：

Fz=174z，Fx=66x，Fy=32y,则：

dz/dx=-Fx/Fz=-66x/174z=-11x/29z;

dz/dy=-Fy/Fz=-32y/174z=-16y/87z.

4、(1)求二阶偏导数∂²z/∂²x:

∵dz/dx=-11x/29z，

∴∂²z/∂²x=-11/29*(z+xdz/dx)/z²

=-11/29*(z+11x²/29z)/z²

=-11/841*(29z²+11x²)/z³.

5、(2)求二阶偏导数∂²z/∂²y:

∵dz/dy=-16y/87z.

∴∂²z/∂²y=-16/87*(z+ydz/dy)/z²

=-16/87*(z+16y²/87z)/z²

=-16/7569*(87z²+16y²)/z³.

6、(3)求二阶偏导数∂²z/∂x∂y:

∵dz/dx=-11x/29z，dz/dy=-16y/87z.

∴∂²z/∂x∂y =11/29*(xdz/dy)/z²

=11/29*(-16xy/87z)/z²

=-176/2523*xy/z³.

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