详细计算方程21x²+47y²+89z²=45的多阶导数

本文通过全微分法、直接求导、构造函数求导以及多元函数求导法则，介绍计算椭球方程的一阶和二阶导数的过程和主要步骤。

方法/步骤

1、全微分求一阶导数

∵21x²+47y²+89z²=45,

∴42xdx+94ydy+178zdz=0，即：

89zdz=-21xdx-47ydy,

dz=-21xdx/89z-47ydy/89z，所以：

dz/dx=-21x/89z，dz/dy=-47y/89z。

2、直接求导法：

21x²+47y²+89z²=45,

对方程方程两边同时对x求导，得：

42x+0+178zdz/dx=0

89zdz/dx=-21x，即：dz/dx=-21x/89z.

再对方程两边同时对y求导，得：

0+94y+178zdz/dy=0

89zdz/dy=-47y，即：dz/dy=-47y/89z.

3、构造函数求导：

F(x,y,z)=21x²+47y²+89z²-45，则：

Fz=178z，Fx=42x，Fy=94y,则：

dz/dx=-Fx/Fz=-42x/178z=-21x/89z;

dz/dy=-Fy/Fz=-94y/178z=-47y/89z.

4、(1)求二阶偏导数∂²z/∂²x:

∵dz/dx=-21x/89z，

∴∂²z/∂²x=-21/89*(z+xdz/dx)/z²

=-21/89*(z+21x²/89z)/z²

=-21/7921*(89z²+21x²)/z³.

5、(2)求二阶偏导数∂²z/∂²y:

∵dz/dy=-47y/89z.

∴∂²z/∂²y=-47/89*(z+ydz/dy)/z²

=-47/89*(z+47y²/89z)/z²

=-47/7921*(89z²+47y²)/z³.

6、(3)求二阶偏导数∂²z/∂x∂y:

∵dz/dx=-21x/89z，dz/dy=-47y/89z.

∴∂²z/∂x∂y =21/89*(xdz/dy)/z²

=21/89*(-47xy/89z)/z²

=-987/7921*xy/z³.

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