计算11x²+61y²+90z²=48的一阶和二阶导数

本文通过全微分法、直接求导、构造函数求导以及多元函数求导法则，介绍计算椭球方程的一阶和二阶导数的过程和主要步骤。

方法/步骤

1、全微分求一阶导数

∵11x²+61y²+90z²=48,

∴22xdx+122ydy+180zdz=0，即：

90zdz=-11xdx-61ydy,

dz=-11xdx/90z-61ydy/90z，所以：

dz/dx=-11x/90z，dz/dy=-61y/90z。

2、直接求导法：

11x²+61y²+90z²=48,

对方程方程两边同时对x求导，得：

22x+0+180zdz/dx=0

90zdz/dx=-11x，即：dz/dx=-11x/90z.

再对方程两边同时对y求导，得：

0+122y+180zdz/dy=0

90zdz/dy=-61y，即：dz/dy=-61y/90z.

3、构造函数求导：

F(x,y,z)=11x²+61y²+90z²-48，则：

Fz=180z，Fx=22x，Fy=122y,则：

dz/dx=-Fx/Fz=-22x/180z=-11x/90z;

dz/dy=-Fy/Fz=-122y/180z=-61y/90z.

4、(1)求二阶偏导数∂²z/∂²x:

∵dz/dx=-11x/90z，

∴∂²z/∂²x=-11/90*(z+xdz/dx)/z²

=-11/90*(z+11x²/90z)/z²

=-11/8100*(90z²+11x²)/z³.

5、(2)求二阶偏导数∂²z/∂²y:

∵dz/dy=-61y/90z.

∴∂²z/∂²y=-61/90*(z+ydz/dy)/z²

=-61/90*(z+61y²/90z)/z²

=-61/8100*(90z²+61y²)/z³.

6、(3)求二阶偏导数∂²z/∂x∂y:

∵dz/dx=-11x/90z，dz/dy=-61y/90z.

∴∂²z/∂x∂y =11/90*(xdz/dy)/z²

=11/90*(-61xy/90z)/z²

=-671/8100*xy/z³.

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