导数画曲线y²-4xy+8=0的图像示意图的主要步骤

     本经验通过函数的定义域、单调性、凸凹性等性质，介绍函数用导数工具画隐函数y²-4xy+8=0的图像的主要步骤。

主要方法与步骤

1、将方程变形成y的二次方程，二次方程有解，进而求解出函数y²-4xy+8=0的定义域。

2、函数y²-4xy+8=0的单调性，求出函数的一阶导数，此时导数表达式中既含有自变量x，也含有因变量y。

3、将变量进行变形，得解析以y表示的一阶导数的表达式，再计算曲线的驻点，根据驻点符号，进一步可判断函数的单调性。

4、计算出函数的二阶导数，由二阶导数为0，计算出函数的拐点，解析拐点的符号，即可判断函数的凸凹性并计算出函数y²-4xy+8=0的凸凹区间。

5、如果一个函数f(x)在某个区间I上有f”(x)(即二阶导数)>0恒成立，那么在区间I上f(x)的图像上的任意两点连出的一条线段，这两点之间的函数图像都在该线段的下方，反之在该线段的上方。

6、以函数的定义域以及单调、凸凹性，以y对应求出x坐标，列举函数上部分点。

7、将上述坐标，把五点图进行变化，调整为以x表示为y。

8、进一步综合函数的定义域、单调性、凸凹性等，即可画出本题复合函数y²-4xy+8=0的示意图。

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