一元函数单调性与单调区间求解例题解析P

      本文通过导数知识，介绍一元函数单调性与单调区间的计算步骤，通过6种函数进行例题解析。

主要方法步骤

1、例题1：讨论y=e^x-2x-3的单调性。

解：y=e^x-2x-3,则y´=e^x-2.

令y´=0，则x=ln2.判断导数的符号为：

(1)当x≥ln2时，y´≥0，此时函数为增函数，

函数的增区间为[ln2,+∞）；

(2)当x＜ln2时，y´＜0，此时函数为减函数。

函数的减区间为(-∞，ln2)。

2、例题2：讨论函数f(x)=2x^3-5x^2+1的单调性。

解：y=2x^3-5x^2+1,

y´=6x^2-10x=2x(3x-5).

令y´=0，即x1=0,x2=5/3，则：

(1)当x∈(-∞，0]，[5/3,+∞）时，y´≥0，

此时函数为增函数，该区间为函数的增区间；

(2)当x∈(0，5/3)时，y´＜0，

此时函数为减函数，该区间为函数的减区间。

3、例题3：判断y=(2/3)x^3+(1/2)x^2的单调性。

解：y=(2/3)x^3+(1/2)x^2,

y´=2x^2+x=x(2x+1).

令y´=0，即x1=-1/2,x2=0，则：

(1)当x∈(-∞，-1/2]，[0,+∞）时，y´≥0，

此时函数为增函数，该区间为函数的增区间；

(2)当x∈(-1/2，0)时，y´＜0，

此时函数为减函数，该区间为函数的减区间。

4、例题4：求函数f(x)=(x+3)(x+2)^(2/3)的单调区间。

解：y=(x+3)(x+2)^(2/3).

y´=(x+2)^(2/3)+(2/3)(x+3)(x+2)^(-1/3)

=(1/3)(x+2)^(-1/3)*(5x+12).

令y´=0，即x1=-12/5，又x2=-2处导数不存在，则：

(1)当x∈(-∞，-12/5]，(-2,+∞）时，y´≥0，

此时函数为增函数，该区间为函数的增区间；

(2)当x∈(-12/5，-2)时，y´＜0，此时函数为减函数。

5、例题5：求f(x)=x^2(x-3)^2的单调区间。

解：y=x^2(x-3)^2,

y´=2x(x-3)^2+2x^2(x-3)=2x(x-3)(2x-3).

令y´=0，即x1=0，x2=3/2，x3=3则：

(1)当x∈(0，3/2],(3,+∞）时，y´＞0，

此时函数为增函数，该区间为函数的增区间；

(2)当x∈(-∞，0]，[3/2,3]时，y´≤0，

此时函数为减函数，该区间为函数的减区间。

6、例题6：讨论y=(x-2)3√x^2的单调性。

解：y=(x-2)x^(2/3).

y´=x^(2/3)+(2/3)(x-2)x^(-1/3)

=(1/3)x^(-1/3)*(5x-4).

令y´=0，即x1=4/5，又x2=0处导数不存在，则：

(1)当x∈(-∞，0)，[4/5,+∞）时，y´≥0，

此时函数为增函数，该区间为函数的增区间；

(2)当x∈(0，4/5)时，y´＜0，此时函数为减函数

7、方法归纳：

通过上述例子，可见此类型讨论函数的单调性或求函数的单调区间，主要步骤为：

1.求函数的一阶导数。

2.由一阶导数为0，求解函数的驻点，同时注意导数不存在的点。

3.以函数的驻点、导数不存在的点，并结合函数的定义域，判断函数导数与0的关系，即可得到函数的单调性和单调区间。

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