计算不定积分18x³/√80-39x²的过程

本文根据分部积分法、三角换元法以及凑分法等方法，介绍不定积分I=∫18x³/√80-39x²dx的计算步骤。

方法/步骤

1、介绍通过分部积分法、三角换元法以及凑分法等方法，计算不定积分的详细过程与步骤。

2、解法一：思路：根据分子分母的关系，直接变形化简使用凑分法求得：

I=-∫(6/13)[x(80-39x^2)-80x]dx/√(80-39x^2)

=-(6/13)∫x(80-39x^2)dx/√(80-39x^2)+ (480/13)∫xdx/√(80-39x^2)

=-(6/13)∫x√(80-39x^2)dx-720*1/39^2∫d(80-39x^2)/√(80-39x^2)

=-9*1/39^2∫√(80-39x^2)d(80-39x^2)- 1440*1/39^2√(80-39x^2)

=6*1/39^2√(80-39x^2)^3-1440*1/39^2*√(80-39x^2)+c

3、解法二：思路：利用不定积分的分部积分方法求得：

  I=18∫x^2*xdx/√(80-39x^2)

   =-(3/13)∫x^2d(80-39x^2)/√(80-39x^2)

   =-(3/13)∫x^2d√(80-39x^2)=-(3/13)x^2√(80-39x^2)+(3/13) ∫√(80-39x^2)dx^2

   =-(3/13)x^2√(80-39x^2)-9*1/39^2∫√(80-39x^2)d(80-39x^2)

   =-(3/13)x^2√(80-39x^2)-6*1/39^2√(80-39x^2)^3+c

4、解法三：

思路：利用三角函数的代换关系，进行三角换元积分求得。

设x=√(80/39)sint，则cost=(1/√80)√(80-39x^2),此时：

I=(1440/39)*√(80/39)∫sin^3td[√(80/39)sint]/√(80-80sin^2t),

=18*(80/39)^2∫sin^3tcostdt/√80*cost,

=(1440√80 /39^2)∫sin^3tdt,

=(1440√80 /39^2)∫sint(1-cos^2 t)dt

=(1440√80 /39^2)∫sintdt-(1440√80 /39^2)∫sintcos^2 tdt

=-(1440√80 /39^2)cost+(1440√80 /39^2)∫cos^2tdcost=-(1440√80 /39^2)cost+(1440√80 /3*39^2)cos^3t+c

 =-(1440/39^2)√(80-39x^2)+6*(1/39^2)√(80-39x^2)^3+c. 

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