三维不等式柯西定理应用举例详解A7

     本文介绍三维不等式柯西定理及其证明，并通过四个例子来详细说明该不等式的数学实际应用。

方法/步骤

1、三维不等式柯西定理：

(g₁²+g₂²+g₃²)(h₁²+h₂²+h₃²)≥(g₁h₁+g₂h₂+g₃h₃)²。

定理证明：

证明：

定义函数f(x)为:

f(x)=(g₁+h₁x)²+(g₂+h₂x)²,

将f(x)转化为二元函数的标准形式y=ax²+bx+c得

f(x)=(h₁²+h₂²)x²+2(g₁h₁+g₂h₂)x+(g₁²+g₂²)

因为f(x)≥0，所以它只有一个解或无解，即

Δ=4(g₁h₁+g₂h₂)²−4(h₁²+h₂²)(g₁²+g₂²)≤0

所以: (h₁²+h₂²)(g₁²+g₂²)≥(g₁h₁+g₂h₂)².

令函数f(x)=0，则每个平方项都必须为0，即

g₁+h₁x=0⇒x=−g₁/h₁,

g₂+h₂x=0⇒x=−g₂/h₂;

则要使函数有零点，即Δ=0,则必须有：

g₁/h₁=g₂/h₂,证毕。

2、 

※.若正数a,b,c,x,y,z满足a²+b²+c²=44,x²+y²+z²=75,求ax+by+cz的最小值。

解：直接使用上述柯西三维不等式有：

(a²+b²+c²)(x²+y²+z²)≥(ax+by+cz)²,

代入数值即可得：

44*75≥(ax+by+cz)²,即：

(ax+by+cz)²≤3300,

由于所有变量均为正数，则：

ax+by+cz≤10√33，

所以ax+by+cz的最小值为：10√33.

3、※.若正数x,y,z满足x²+y²+z²=366,求x+y+z的最小值。

解：使用柯西三维不等式有：

(x²+y²+z²) (a²+b²+c²)≥(x+y+z)², 即：

(x²+y²+z²) (1²+1²+1²)≥(x+y+z)²，则：

366*3≥(x+y+z)²,进一步有：

(x+y+z)²≤1098，

所以正数x+y+z的最小值=3√122。

4、※.若a+b+c=29,求4a²+81b²+81c²的最小值。

解：使用上述不等式，出现和的平方，即已知条件转换为不等式右边和的平方，则所求代数式需要变形成两个三项式平方和的乘积。

4a²+81b²+81c²=(2a)²+(9b)²+(9c)²

进一步变形为：

[(2a)²+(9b)²+(9c)²][(1/2)²+(1/9)²+(1/9)²]，

≥[(2a/2)+(9b /9)+(9c/9)]²，

=(a+b+c)²=29²，即：

(4a²+81b²+81c²)*(89*9²/162²)≥29²，

所以：4a²+81b²+81c²≥(1/89)*522²。

5、※.若25x+18y+23z=100,求x²+y²+z²的最小值。

解：运用三维柯西不等式，有：

(x²+y²+z²)(25²+18²+23²)≥(25x+18y+23z)²,即：

(x²+y²+z²)(25²+18²+23²)≥100²,

(x²+y²+z²)*1478≥100²,

x²+y²+z²≥100²/(1478),

即：x²+y²+z²≥5000/739,

所以x²+y²+z²的最小值=5000/739。

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