三维不等式柯西定理应用举例详解A3

     本文介绍三维不等式柯西定理及其证明，并通过四个例子来详细说明该不等式的数学实际应用。

方法/步骤

1、三维不等式柯西定理：

(u₁²+u₂²+u₃²)(v₁²+v₂²+v₃²)≥(u₁v₁+u₂v₂+u₃v₃)²。

2、定理证明：

证明：

定义函数f(x)为:

f(x)=(u₁+v₁x)²+(u₂+v₂x)²,

将f(x)转化为二元函数的标准形式y=ax²+bx+c得

f(x)=(v₁²+v₂²)x²+2(u₁v₁+u₂v₂)x+(u₁²+u₂²)

因为f(x)≥0，所以它只有一个解或无解，即

Δ=4(u₁v₁+u₂v₂)²−4(v₁²+v₂²)(u₁²+u₂²)≤0

所以: (v₁²+v₂²)(u₁²+u₂²)≥(u₁v₁+u₂v₂)².

令函数f(x)=0，则每个平方项都必须为0，即

u₁+v₁x=0⇒x=−u₁/v₁,

u₂+v₂x=0⇒x=−u₂/v₂;

则要使函数有零点，即Δ=0,则必须有：

u₁/v₁=u₂/v₂,证毕。

3、 

※.若正数a,b,c,x,y,z满足a²+b²+c²=178,x²+y²+z²=253,求ax+by+cz的最小值。

解：直接使用上述柯西三维不等式有：

(a²+b²+c²)(x²+y²+z²)≥(ax+by+cz)²,

代入数值即可得：

178*253≥(ax+by+cz)²,即：

(ax+by+cz)²≤45034,

由于所有变量均为正数，则：

ax+by+cz≤√45034，

所以ax+by+cz的最小值为：√45034.

4、※.若正数x,y,z满足x²+y²+z²=231,求x+y+z的最小值。

解：使用柯西三维不等式有：

(x²+y²+z²) (a²+b²+c²)≥(x+y+z)², 即：

(x²+y²+z²) (1²+1²+1²)≥(x+y+z)²，则：

231*3≥(x+y+z)²,进一步有：

(x+y+z)²≤693，

所以正数x+y+z的最小值=3√77。

5、※.若a+b+c=52,求169a²+169b²+36c²的最小值。

解：使用上述不等式，出现和的平方，即已知条件转换为不等式右边和的平方，则所求代数式需要变形成两个三项式平方和的乘积。

169a²+169b²+36c²=(13a)²+(13b)²+(6c)²

进一步变形为：

[(13a)²+(13b)²+(6c)²][(1/13)²+(1/13)²+(1/6)²]，

≥[(13a/13)+(13b /13)+(6c/6)]²，

=(a+b+c)²=52²，即：

(169a²+169b²+36c²)*(241*13²/1014²)≥52²，

所以：169a²+169b²+36c²≥(1/241)*4056²。

6、※.若24x+18y+4z=49,求x²+y²+z²的最小值。

解：运用三维柯西不等式，有：

(x²+y²+z²)(24²+18²+4²)≥(24x+18y+4z)²,即：

(x²+y²+z²)(24²+18²+4²)≥49²,

(x²+y²+z²)*229*2²≥49²,

x²+y²+z²≥49²/(229*2²),

即：x²+y²+z²≥2401/916,

所以x²+y²+z²的最小值=2401/916。

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