高等数学不定积分∫73x³/√17-60x²的计算

本文根据分部积分法、三角换元法以及凑分法等方法，介绍不定积分I=∫73x³/√17-60x²dx的计算步骤。

方法/步骤

1、介绍通过分部积分法、三角换元法以及凑分法等方法，计算不定积分的详细过程与步骤。

2、解法一：思路：根据分子分母的关系，直接变形化简使用凑分法求得：

I=-∫(73/60)[x(17-60x^2)-17x]dx/√(17-60x^2)

=-(73/60)∫x(17-60x^2)dx/√(17-60x^2)+ (1241/60)∫xdx/√(17-60x^2)

=-(73/60)∫x√(17-60x^2)dx-(1241/2)*1/60^2∫d(17-60x^2)/√(17-60x^2)

=-73*1/60^2∫√(17-60x^2)d(17-60x^2)- 1241*1/60^2√(17-60x^2)

=(146/3) *1/60^2√(17-60x^2)^3-1241 *1/60^2*√(17-60x^2)+c

3、解法二：思路：利用不定积分的分部积分方法求得：

  I=73∫x^2*xdx/√(17-60x^2)

   =-(73/120)∫x^2d(17-60x^2)/√(17-60x^2)

   =-(73/120)∫x^2d√(17-60x^2)=-(73/120)x^2√(17-60x^2)+(73/120) ∫√(17-60x^2)dx^2

   =-(73/120)x^2√(17-60x^2)-(73/2)*1/60^2∫√(17-60x^2)d(17-60x^2)

   =-(73/120)x^2√(17-60x^2)-(73/3)*1/60^2√(17-60x^2)^3+c

4、解法三：

思路：利用三角函数的代换关系，进行三角换元积分求得。

设x=√(17/60)sint，则cost=(1/√17)√(17-60x^2),此时：

I=(1241/60)*√(17/60)∫sin^3td[√(17/60)sint]/√(17-17sin^2t),

=73*(17/60)^2∫sin^3tcostdt/√17*cost,

=(1241√17 /60^2)∫sin^3tdt,

5、=(1241√17 /60^2)∫sint(1-cos^2 t)dt

=(1241√17 /60^2)∫sintdt-(1241√17 /60^2)∫sintcos^2 tdt

=-(1241√17 /60^2)cost+(1241√17 /60^2)∫cos^2tdcost=-(1241√17 /60^2)cost+(1241√17 /3*60^2)cos^3t+c

 =-(1241/60^2)√(17-60x^2)+(73/3)*(1/60^2)√(17-60x^2)^3+c. 

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