三维不等式柯西定理应用举例详解A5

     本文介绍三维不等式柯西定理及其证明，并通过四个例子来详细说明该不等式的数学实际应用。

方法/步骤

1、三维不等式柯西定理：

(p₁²+p₂²+p₃²)(q₁²+q₂²+q₃²)≥(p₁q₁+p₂q₂+p₃q₃)²。

定理证明：

证明：

定义函数f(x)为:

f(x)=(p₁+q₁x)²+(p₂+q₂x)²,

将f(x)转化为二元函数的标准形式y=ax²+bx+c得

f(x)=(q₁²+q₂²)x²+2(p₁q₁+p₂q₂)x+(p₁²+p₂²)

因为f(x)≥0，所以它只有一个解或无解，即

Δ=4(p₁q₁+p₂q₂)²−4(q₁²+q₂²)(p₁²+p₂²)≤0

所以: (q₁²+q₂²)(p₁²+p₂²)≥(p₁q₁+p₂q₂)².

令函数f(x)=0，则每个平方项都必须为0，即

p₁+q₁x=0⇒x=−p₁/q₁,

p₂+q₂x=0⇒x=−p₂/q₂;

则要使函数有零点，即Δ=0,则必须有：

p₁/q₁=p₂/q₂,证毕。

2、※.若正数a,b,c,x,y,z满足a²+b²+c²=180,x²+y²+z²=134,求ax+by+cz的最小值。

解：直接使用上述柯西三维不等式有：

(a²+b²+c²)(x²+y²+z²)≥(ax+by+cz)²,

代入数值即可得：

180*134≥(ax+by+cz)²,即：

(ax+by+cz)²≤24120,

由于所有变量均为正数，则：

ax+by+cz≤6√670，

所以ax+by+cz的最小值为：6√670.

3、※.若正数x,y,z满足x²+y²+z²=59,求x+y+z的最小值。

解：使用柯西三维不等式有：

(x²+y²+z²) (a²+b²+c²)≥(x+y+z)², 即：

(x²+y²+z²) (1²+1²+1²)≥(x+y+z)²，则：

59*3≥(x+y+z)²,进一步有：

(x+y+z)²≤177，

所以正数x+y+z的最小值=√177。

4、※.若a+b+c=146,求64a²+9b²+49c²的最小值。

解：使用上述不等式，出现和的平方，即已知条件转换为不等式右边和的平方，则所求代数式需要变形成两个三项式平方和的乘积。

64a²+9b²+49c²=(8a)²+(3b)²+(7c)²

进一步变形为：

[(8a)²+(3b)²+(7c)²][(1/8)²+(1/3)²+(1/7)²]，

≥[(8a/8)+(3b /3)+(7c/7)]²，

=(a+b+c)²=146²，即：

(64a²+9b²+49c²)*(4153/168²)≥146²，

所以：64a²+9b²+49c²≥(1/4153)*24528²。

5、※.若23x+34y+12z=484,求x²+y²+z²的最小值。

解：运用三维柯西不等式，有：

(x²+y²+z²)(23²+34²+12²)≥(23x+34y+12z)²,即：

(x²+y²+z²)(23²+34²+12²)≥484²,

(x²+y²+z²)*1829≥484²,

x²+y²+z²≥484²/(1829),

即：x²+y²+z²≥234256/1829,

所以x²+y²+z²的最小值=234256/1829。

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