方程曲线y=e^(266x+96y)图像的示意图画法

    本经验通过函数的定义域、值域、单调性、凸凹性等，介绍函数y=e^(266x+96y)的图像的主要步骤。

方法/步骤

1、※.方程曲线的定义域

方程曲线表达式为y=e^(266x+96y),即y>0,取对数有：

lny=266x+96y，则：266x=lny-96y.

设266x=F(y)=lny-96y,把y看成自变量，求导得：

F'(y)=(1/y)-96=(1-96y)/y.

令F'(y)=0，则y=1/96≈0.010.

1)当0<y0;

2)当y>1/96时，F'(y)<0。

所以，当y=1/96时，F(y)有最大值，即：

266x≤F(y)max=-(1+ln96)

x≤-(1+ln96)/266≈-0.021.

即方程曲线的定义域为：(-∞，-0.021]。

2、※.方程曲线的单调性

对方程两边同时对x求导，得：

y=e^(266x+96y)

y’=e^(266x+96y)(266+96y＇)

y’=266e^(266x+96y)/[1-96e^(266x+96y)]

即：y’=266y/(1-96y).

导数y’的符号与(1-96y)的符号一致，方程曲线的单调性为：

(1).当y∈(0,1/96]时，y’＞0，此时方程y随x的增大而增大；

(2).当y∈(1/96,+∞）时，y’＜0，此时方程y随x的增大而减小。

3、  如果函数y=f(x)在区间D内可导(可微)，若x∈D时恒有f'(x)>0，则函数y=f(x)在区间D内单调增加;反之，若x∈D时，f'(x)<0,则称函数y=f(x)在区间D内单调减少。

4、※.方程曲线的凸凹性

∵y’=-266y/(96y-1)，

∴y”=-266[y'(96y-1)-96yy’]/(96y-1)²

=-266y’/(96y-1)²

=266²y/(1-96y)³，则y”的符号与(1-96y)的符号一致。

方程曲线的凸凹区间为：

(1)当y∈(0,1/96]时，y”＞0，此时方程曲线y为凹曲线;

(2)当y∈(1/96,+∞）时，y”＜0，此时方程曲线y为凸曲线。

5、   二阶导数，是原函数导数的导数，将原函数进行二次求导。一般的，函数y=f(x)的导数y’=f'(x)仍然是x的函数，则y’=f'(x)的导数叫作函数y=f(x)的二阶导数。

      如果函数f(x)在区间I上二阶可导，则f(x)在区间I上是凸函数的充要条件是f”(x)<=0。

6、※.函数的图像示意图

函数上部分点解析如下表所示，综合函数的单调性和凸凹性，并结合函数的定义域，即可画出函数的图像示意图。

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