多种方法计算√11655的近似值步骤

本经验通过线性穿插、极限法、微分及泰勒展开等四种方法，介绍二次根式的近似值计算方法步骤。

主要方法步骤

1、※.线性穿插法计算近似值

设√11655=x，并找与之最近的两个完全平方数，有：

√11449=107,

√11655=x,

√11664=108,用线性穿插得：

(11655-11449)/(11664-11655)=(x-107)/(108-x)

206(108-x)=9(x-107)

215x=23211

x=23211/215≈107.9581.

2、※.微分法计算近似值

∵dy=f'(x)dx，f(x)=√x，∴dy=dx/(2√x），对于本题有：

√11655-√11449=(11655-11449)/(2√11449)

√11655=√11449+206/(2*107)

√11655=107+103/107≈107.9626.

3、※.极限法计算近似值

原理为当x趋近无穷小时，有(1±x) ᵃ≈1±ax，其中a为不为1的常数。

对于本题:

√11655=√(11449+206）

√11655=√[11449(1+206/11449）]

=107√(1+206/11449）

=107*[1+206/(2*11449)]

=107+103/107≈107.9626.

4、※.泰勒展开式计算近似值

∵f(x)=f(x₀)/0!+f'(x₀)(x-x₀)/1!+f”(x₀)(x-x₀)²/2!+O(x³)

∴f(x)=f(x₀)+f'(x₀)(x-x₀)+f”(x₀)(x-x₀)²/2+O(x³)

其中O(x³)表示x的三次无穷小。

5、对于本题幂函数y=f(x)=√x,有：

f'(x)=(1/2)x^(-1/2),f”(x)=-(1/4)x^(-3/2)，即：

f(x)≈f(x₀)+(1/2)x₀^(-1/2)(x-x₀)-(1/8)x₀^(-3/2)*(x-x₀)²。

对于本题，x=11655，x₀=11449,x-x₀=206,代入得：

√11655

≈√11449+103*11449^(-1/2)-(1/8)*206²*11449^(-3/2)

≈107+103*107⁻¹-(1/8)*206²*107⁻³

≈107+103/107-206²/(8*107³)

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