高中数学二次项定理应用习题举例详解C8

本经验主要通过4道例题，详细介绍二次项展开式定理的运用计算步骤。

方法/步骤

1、※.已知[a/54x-√(x/2)]^9的展开式中x^3的系数为5/2，求常数a的值。

2、※.若(x^2+2/x^3)^n的展开式各系数的和为243，则n和展开式的常数项分别是多少？

解：求n时使用特殊值法计算，海躲取x=1时，有：

(1+2)^n=243,

即可求出n=5.

本题展开式通式为：

Tᵣ=C(5,r)*(x^2)^(5-r)*(2/x^3)^r

=C(5,r)*1^(5-r)*x^(2*5-2r)*2^r *x^(-3r)

=C(5,r)*1^(5-r)*2^r*x^(2*5-2r-3r)

因为求常数，所以：2*5-2r-3r=0，

即r=2，则此时的系数为：

Tᵣ=C(5,r)*1^(5-r)*2^r

=C(5, 2)*1^(5-2)*2^r=10*1*4=40.

3、※.求二项展开式(2x+1)⁵中偶数项的系数和。

解：根据题意，设：

(2x+1)⁵=a₀x⁵+a₁x⁴+a₂x³+a₃x²+a₄x+a₅,

偶数项的系数是a₁，a₃，a₅，

分别令x=1和x=-1，有：

(2+1)⁵=a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅,

(2-1)⁵=-a₀+a₁-a₂+a₃-a₄+a₅,

两式子相加有：

2(a₁+a₃+a₅五近捧)=(2+1)⁵+(2-1)⁵,即：

2(a₁+a₃+a₅)=243+1,

2(a₁+a₃+a₅)=244,所以：a₁+a₃+a₅=122。

4、※.在(2-x)^5*(33+70x)展开式中，x^2的系数是多少？

解：对(2-x)^5来说，展开通项有：

Tᵣ=C(5,r)* 2^(5-r)*(-x)^r

=C(5,r)* 2^(5-r)*(-1)^r* x^r

题意要求x^2的系数，考虑到33+70x有常数项囊胆和x的一次项，所以系数是两个系数的和，分别为r=2和r=1，则：

T=T₁+T₂

=33*C(5,2)*2^(5-2)*(-1)^2+70*C(5,1)*2^(5-1)*(-1)^1

=33*80-70*80=2640-5600=-2960.

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