计算二阶常微分方程82y''+77y'=0的通解

主要内容：本文通过一阶微分方程分离变量法、一阶齐次微分方程和二阶常系数微分方程通解计算，介绍二阶常微分方程82y”+77y’=0通解的计算步骤。

方法/步骤

1、※.分离变量法

由82y”=-77y’有：

82d(y’)=-77y’dx

82d(y’)/y’=-77dx,两边同时积分有：

82∫d(y’)/y’=-77∫dx，即：

82∫d(lny’)= -77∫dx，

82lny’=-77x+C00,对方程变形有：

dy/dx=e^(-77x/82+C00/82)=C01e^(-77x/82),

再次积分可有：

∫dy= C01∫e^(-77x/82)dx，即：

y=-C01*(82/(77)∫e^(-77x/82)d(-77x/82)

=C1e^(-77x/82)+C2。

2、※.一阶齐次微分方程求解

因为82 (y’)’+77y’=0，即：

(y’)’+(77/82)y’=0，按照一阶齐次微分方程公式有：

y’=e^(-77/82∫dx)*(∫0*e^(∫(77dx/82)dx+C0)，进一步化简有：

y’=C0 e^(-77x/82)，继续对积分可有：

∫dy=∫C0 e^(-77x/82)dx，即：

y=-C0*82/77*∫C0e^(-77x/82)d(-77x/82)

=C1e^(77x/82)+C2。

3、※.二阶常系数微分方程求解

该微分方程的特征方程为82r^2+77r=0，即：

r(82r+77)=0，所以r1=-77/82，r2=0。

此时二阶常系数微分方程的通解为：

y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)=C1e^(-77x/82)+C2。

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