隐函数61x²+75y²+38z²=1的一阶和二阶导数

本文通过全微分法、直接求导、构造函数求导以及多元函数求导法则，介绍计算隐函数61x²+75y²+38z²=1的一阶和二阶导数的过程和主要步骤。

方法/步骤

1、全微分求一阶导数

∵61x²+75y²+38z²=1,

∴122xdx+150ydy+76zdz=0，即：

38zdz=-61xdx-75ydy,

dz=-61xdx/38z-75ydy/38z，所以：

dz/dx=-61x/38z，dz/dy=-75y/38z。

2、直接求导法：

61x²+75y²+38z²=1,

对隐函数方程两边同时对x求导，得：

122x+0+76zdz/dx=0

38zdz/dx=-61x，即：dz/dx=-61x/38z.

再对方程两边同时对y求导，得：

0+150y+76zdz/dy=0

38zdz/dy=-75y，即：dz/dy=-75y/38z.

3、构造函数求导：

F(x,y,z)=61x²+75y²+38z²-1，则：

Fz=76z，Fx=122x，Fy=150y,则：

dz/dx=-Fx/Fz=-122x/76z=-61x/38z;

dz/dy=-Fy/Fz=-150y/76z=-75y/38z.

4、二阶偏导数求法：

(1)求二阶偏导数∂²z/∂²x:

∵dz/dx=-61x/38z，

∴∂²z/∂²x=-61/38*(z+xdz/dx)/z²

=-61/38*(z+61x²/38z)/z²

=-61/1444*(38z²+61x²)/z³.

5、(2)求二阶偏导数∂²z/∂²y:

∵dz/dy=-75y/38z.

∴∂²z/∂²y=-75/38*(z+ydz/dy)/z²

=-75/38*(z+75y²/38z)/z²

=-75/1444*(38z²+75y²)/z³.

6、(3)求二阶偏导数∂²z/∂x∂y:

∵dz/dx=-61x/38z，dz/dy=-75y/38z.

∴∂²z/∂x∂y =61/38*(xdz/dy)/z²

=61/38*(-75xy/38z)/z²

=-4575/1444*xy/z³.

本文来自于百度作者：吉禄学阁，仅代表原作者个人观点。本站旨在传播优质文章，无商业用途。如不想在本站展示可联系删除