隐函数24x²+17y²+35z²=34的一阶和二阶导数

本文通过全微分法、直接求导、构造函数求导以及多元函数求导法则，介绍计算隐函数24x²+17y²+35z²=34的一阶和二阶导数的过程和主要步骤。

方法/步骤

1、全微分求一阶导数

∵24x²+17y²+35z²=34,

∴48xdx+34ydy+70zdz=0，即：

35zdz=-24xdx-17ydy,

dz=-24xdx/35z-17ydy/35z，所以：

dz/dx=-24x/35z，dz/dy=-17y/35z。

2、直接求导法：

24x²+17y²+35z²=34,

对隐函数方程两边同时对x求导，得：

48x+0+70zdz/dx=0

35zdz/dx=-24x，即：dz/dx=-24x/35z.

再对方程两边同时对y求导，得：

0+34y+70zdz/dy=0

35zdz/dy=-17y，即：dz/dy=-17y/35z.

3、构造函数求导：

F(x,y,z)=24x²+17y²+35z²-34，则：

Fz=70z，Fx=48x，Fy=34y,则：

dz/dx=-Fx/Fz=-48x/70z=-24x/35z;

dz/dy=-Fy/Fz=-34y/70z=-17y/35z.

4、(1)求二阶偏导数∂²z/∂²x:

∵dz/dx=-24x/35z，

∴∂²z/∂²x=-24/35*(z+xdz/dx)/z²

=-24/35*(z+24x²/35z)/z²

=-24/1225*(35z²+24x²)/z³.

5、(2)求二阶偏导数∂²z/∂²y:

∵dz/dy=-17y/35z.

∴∂²z/∂²y=-17/35*(z+ydz/dy)/z²

=-17/35*(z+17y²/35z)/z²

=-17/1225*(35z²+17y²)/z³.

6、(3)求二阶偏导数∂²z/∂x∂y:

∵dz/dx=-24x/35z，dz/dy=-17y/35z.

∴∂²z/∂x∂y =24/35*(xdz/dy)/z²

=24/35*(-17xy/35z)/z²

=-408/1225*xy/z³.

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