形如∫dx/(u-vx)不定积分的计算步骤

本例为微积分不定积分计算，积分函数为一次函数倒数形式，并列举当系数均为整数情形、为根式情形和分数情况等不同情况下计算详细过程。

方法/步骤

1、通用步骤推导：

∫dx/(u-vx)=-∫dx/(vx-u)

=-(1/v)∫dvx/(vx-u)

=-(1/v)∫d(vx-u)/(vx-u)

=-(1/v)ln|vx-u|+C。

2、当系数均为整数情形

1.当u=1，v=1情形：

∫dx/(1-x)=-∫dx/(x-1)=-∫d(x-1)/(x-1)=-ln|x-1|+C。

3、2.当u=1，v=79情形：

∫dx/(1-79x)=-∫dx/(79x-1)=-(1/79)∫d79x/(79x-1)

=-(1/79)∫d(79x-1)/(79x-1)=-(1/79)ln|79x-1|+C。

4、3.当u=63，v=1情形：

∫dx/(63-x)=-∫dx/(x-63)=-∫d(x-63)/(x-63)=-ln|x-63|+C。

5、4.当u=331，v=135情形：

∫dx/(331-135x)=-∫dx/(135x-331)

=-(1/135)∫d135x/(135x-331)

=-(1/135)∫d(135x-331)/(135x-331)

=-(1/135)ln|135x-331|+C。

6、当两个系数均为根式情形

1.当u=√138，v=√141情形：

∫dx/(√138-√141x)=-∫dx/(√141x-√138)

=-(1/√141)∫d√141x/(√141x-√138)

=-(1/√141)∫d(√141x-√138)/(√141x-√138)

=-(1/√141)ln|√141x-√138|+C。

7、2.当u=√1292，v=√4384情形：

∫dx/(√1292-√4384x)=-∫dx/(4√274x-2√323)

=-(1/4√274)∫d4√274x/(√141x-2√323)

=-(1/4√274)∫d(4√274x-2√323)/(4√274x-2√323))

=-(1/4√274)ln|4√274x-2√323|+C。

8、当系数均为分数情况：

当u=8/45√1292，v=3/26情形：

∫dx/(8/45-3x/26)

=-∫dx/(3x/26-8/45)

=-(26/3)∫d(3x/26)/(3x/26-8/45)

=-(26/3)∫d(3x/26-8/45)/(3x/26-8/45)

=-(26/3)ln|3x/26-8/45|+C。

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