隐函数46x²+62y²+22z²=73的一阶和二阶导数

本文通过全微分法、直接求导、构造函数求导以及多元函数求导法则，介绍计算隐函数46x²+62y²+22z²=73的一阶和二阶导数的过程和主要步骤。

方法/步骤

1、全微分求一阶导数

∵46x²+62y²+22z²=73,

∴92xdx+124ydy+44zdz=0，即：

22zdz=-46xdx-62ydy,

dz=-23xdx/11z-31ydy/11z，所以：

dz/dx=-23x/11z，dz/dy=-31y/11z。

2、直接求导法：

46x²+62y²+22z²=73,

对隐函数方程两边同时对x求导，得：

92x+0+44zdz/dx=0

22zdz/dx=-46x，即：dz/dx=-23x/11z.

再对方程两边同时对y求导，得：

0+124y+44zdz/dy=0

22zdz/dy=-62y，即：dz/dy=-31y/11z.

3、 

构造函数求导：

F(x,y,z)=46x²+62y²+22z²-73，则：

Fz=44z，Fx=92x，Fy=124y,则：

dz/dx=-Fx/Fz=-92x/44z=-23x/11z;

dz/dy=-Fy/Fz=-124y/44z=-31y/11z.

4、(1)求二阶偏导数∂²z/∂²x:

∵dz/dx=-23x/11z，

∴∂²z/∂²x=-23/11*(z+xdz/dx)/z²

=-23/11*(z+23x²/11z)/z²

=-23/121*(11z²+23x²)/z³.

5、(2)求二阶偏导数∂²z/∂²y:

∵dz/dy=-31y/11z.

∴∂²z/∂²y=-31/11*(z+ydz/dy)/z²

=-31/11*(z+31y²/11z)/z²

=-31/121*(11z²+31y²)/z³.

6、(3)求二阶偏导数∂²z/∂x∂y:

∵dz/dx=-23x/11z，dz/dy=-31y/11z.

∴∂²z/∂x∂y =23/11*(xdz/dy)/z²

=23/11*(-31xy/11z)/z²

=-713/121*xy/z³.

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