隐函数78x²+36y²+85z²=28的一阶和二阶导数

本文通过全微分法、直接求导、构造函数求导以及多元函数求导法则，介绍计算隐函数78x²+36y²+85z²=28的一阶和二阶导数的过程和主要步骤。

方法/步骤

1、全微分求一阶导数

∵78x²+36y²+85z²=28,

∴156xdx+72ydy+170zdz=0，即：

85zdz=-78xdx-36ydy,

dz=-78xdx/85z-36ydy/85z，所以：

dz/dx=-78x/85z，dz/dy=-36y/85z。

2、直接求导法：

78x²+36y²+85z²=28,

对隐函数方程两边同时对x求导，得：

156x+0+170zdz/dx=0

85zdz/dx=-78x，即：dz/dx=-78x/85z.

再对方程两边同时对y求导，得：

0+72y+170zdz/dy=0

85zdz/dy=-36y，即：dz/dy=-36y/85z.

3、构造函数求导：

F(x,y,z)=78x²+36y²+85z²-28，则：

Fz=170z，Fx=156x，Fy=72y,则：

dz/dx=-Fx/Fz=-156x/170z=-78x/85z;

dz/dy=-Fy/Fz=-72y/170z=-36y/85z.

4、二阶偏导数求法：

(1)求二阶偏导数∂²z/∂²x:

∵dz/dx=-78x/85z，

∴∂²z/∂²x=-78/85*(z+xdz/dx)/z²

=-78/85*(z+78x²/85z)/z²

=-78/7225*(85z²+78x²)/z³.

5、(2)求二阶偏导数∂²z/∂²y:

∵dz/dy=-36y/85z.

∴∂²z/∂²y=-36/85*(z+ydz/dy)/z²

=-36/85*(z+36y²/85z)/z²

=-36/7225*(85z²+36y²)/z³.

6、(3)求二阶偏导数∂²z/∂x∂y:

∵dz/dx=-78x/85z，dz/dy=-36y/85z.

∴∂²z/∂x∂y =78/85*(xdz/dy)/z²

=78/85*(-36xy/85z)/z²

=-2808/7225*xy/z³.

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