二次函数y=9x^2/5+x/3+1的性质归纳详解

本文主要介绍二次函数y=9x^2/5+x/3+1的定义域、值域、对称轴、单调性、凸凹性等性质，并举例通过导数知识求解函数上点切线的主要过程和步骤。

方法/步骤

1、介绍二次函数y=9x^2/5+x/3+1的定义域、值域、对称轴、单调性、凸凹性等性质，并举例通过导数知识求解函数上点切线的主要过程和步骤。

2、函数的定义域与值域：

1）定义域：函数为二次函数，由函数特征知函数的定义域为全体实数，即定义域为：（-∞，+∞）。

2）值域：该二次函数开口向上，函数有最小值，在顶点处达到，所以值域为：[319/324，+∞）。

3、函数的对称轴与单调性：

因为函数y=9×2/5+x/3+1，其对称轴为：

x0=-5/54,函数开口向上，所以函数的单调性为：

在区间（-∞，-5/54]上，函数为单调减函数；

在区间(-5/54 ,+∞）上，函数为单调增函数。

4、函数一阶导数及其应用

求函数的一阶导导数，并求函数在点A(-1,37/15),B(-1/2,77/60),C(1/2,97/60),D(1,47/15),E(-5/54,319/324)处的切线方程。

解：∵y=9×2/5+x/3+1，

∴y’=18x/5+x/3.

(1)在点A(-1,37/15)处，切线的斜率k为：

   k=-49/15,此时由直线的点斜式方程得切线方程为：

   y-37/15=-49/15(x+1)。

5、(2)在点B(-1/2,77/60)处，切线的斜率k为：

   k=-22/15,此时由直线的点斜式方程得切线方程为：

   y-77/60=-22/15(x+1/2)。

(3)在点C(1/2, 97/60)处，切线的斜率k为：

    k=32/15,此时由直线的点斜式方程得切线方程为：

    y-97/60=32/15(x-1/2)。

6、(4)在点D(1, 47/15)处，切线的斜率k为：

   k=59/15,此时由直线的点斜式方程得切线方程为：

   y-47/15=59/15(x-1)。

(5)在点D(-5/54,319/324)处，因为该点是二次函数抛物线的顶点，所以其切线是一条平行于x轴的直线，并过点D,则此时的切线方程为：y=319/324。

7、函数的凸凹性：

通过初高中知识我们知道，二次函数开口向上时，函数图像为凹函数。在这里，我们用导数的知识判断函数的凸凹性。

∵y’=18x/5+x/3,

∴y”=18/5>0,即二阶导数为正数，则函数在整个定义域上为凹函数。

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