计算√1876的近似值的主要步骤

本经验通过线性穿插、极限法、微分及泰勒展开等四种方法，介绍二次根式1876的近似值计算方法步骤。

方法/步骤

1、※.线性穿插法计算近似值

设√1876=x，并找与之最近的两个完全平方数，有：

√1849=43,

√1876=x,

√1936=44,用线性穿插得：

(1876-1849)/(1936-1876)=(x-43)/(44-x)

27(44-x)=60(x-43)

87x=3768

x=1256/29≈43.3103.

2、※.微分法计算近似值

∵dy=f'(x)dx，f(x)=√x，∴dy=dx/(2√x），对于本题有：

√1876-√1849=(1876-1849)/(2√1849)

√1876=√1849+27/(2*43)

√1876=43+27/86≈43.3140.

3、※.极限法计算近似值

原理为当x趋近无穷小时，有(1±x) ᵃ≈1±ax，其中a为不为1的常数。

对于本题:

√1876=√(1849+27）

√1876=√[1849(1+27/1849）]

=43√(1+27/1849）

=43*[1+27/(2*1849)]

=43+27/86≈43.3140.

4、※.泰勒展开式计算近似值

∵f(x)=f(x₀)/0!+f'(x₀)(x-x₀)/1!+f”(x₀)(x-x₀)²/2!+O(x³)

∴f(x)=f(x₀)+f'(x₀)(x-x₀)+f”(x₀)(x-x₀)²/2+O(x³)

其中O(x³)表示x的三次无穷小。

对于本题幂函数y=f(x)=√x,有：

f'(x)=(1/2)x^(-1/2),f”(x)=-(1/4)x^(-3/2)，即：

f(x)≈f(x₀)+(1/2)x₀^(-1/2)(x-x₀)-(1/8)x₀^(-3/2)*(x-x₀)²。

5、对于本题，x=1876，x₀=1849,x-x₀=27,代入得：

√1876

≈√1849+(27/2)*1849^(-1/2)-(1/8)*27²*1849^(-3/2)

≈43+(27/2)*43⁻¹-(1/8)*27²*43⁻³

≈43+27/86-27²/(8*43³)

即：√1876≈43.3128。

6、结论拓展分析：

1.本次近似计算以保留四位小数为主，从精确度来看，精确度最高的是泰勒展开式法，其次是线性穿插法。

2.所求的某个数a的算术平方根，由于与a相邻有两个可开方数，一般在近似计算中选取与之最近的一个可开方数。

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