计算√7758的近似值的主要步骤

本经验通过线性穿插、极限法、微分及泰勒展开等四种方法，介绍二次根式7758的近似值计算方法步骤。

方法/步骤

1、※.线性穿插法计算近似值

设√7758=x，并找与之最近的两个完全平方数，有：

√7744=88,

√7758=x,

√7921=89,用线性穿插得：

(7758-7744)/(7921-7758)=(x-88)/(89-x)

14(89-x)=163(x-88)

177x=15590

x=15590/177≈88.0791.

2、※.微分法计算近似值

∵dy=f'(x)dx，f(x)=√x，∴dy=dx/(2√x），对于本题有：

√7758-√7744=(7758-7744)/(2√7744)

√7758=√7744+14/(2*88)

√7758=88+7/88≈88.0795.

3、※.极限法计算近似值

原理为当x趋近无穷小时，有(1±x) ᵃ≈1±ax，其中a为不为1的常数。

对于本题:

√7758=√(7744+14）

√7758=√[7744(1+14/7744）]

=88√(1+14/7744）

=88*[1+14/(2*7744)]

=88+7/88≈88.0795.

4、※.泰勒展开式计算近似值

∵f(x)=f(x₀)/0!+f'(x₀)(x-x₀)/1!+f”(x₀)(x-x₀)²/2!+O(x³)

∴f(x)=f(x₀)+f'(x₀)(x-x₀)+f”(x₀)(x-x₀)²/2+O(x³)

其中O(x³)表示x的三次无穷小。

5、对于本题幂函数y=f(x)=√x,有：

f'(x)=(1/2)x^(-1/2),f”(x)=-(1/4)x^(-3/2)，即：

f(x)≈f(x₀)+(1/2)x₀^(-1/2)(x-x₀)-(1/8)x₀^(-3/2)*(x-x₀)²。

对于本题，x=7758，x₀=7744,x-x₀=14,代入得：

√7758

≈√7744+(7/1)*7744^(-1/2)-(1/8)*14²*7744^(-3/2)

≈88+(7/1)*88⁻¹-(1/8)*14²*88⁻³

≈88+7/88-14²/(8*88³)

即：√7758≈88.0795。

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