计算√2629的近似值

本经验通过线性穿插、极限法、微分及泰勒展开等四种方法，介绍二次根式2629的近似值计算方法步骤。

方法/步骤

1、※.线性穿插法计算近似值

设√2629=x，并找与之最近的两个完全平方数，有：

√2601=51,

√2629=x,

√2704=52,用线性穿插得：

(2629-2601)/(2704-2629)=(x-51)/(52-x)

28(52-x)=75(x-51)

103x=5281

x=5281/103≈51.2718.

2、※.微分法计算近似值

∵dy=f'(x)dx，f(x)=√x，∴dy=dx/(2√x），对于本题有：

√2629-√2601=(2629-2601)/(2√2601)

√2629=√2601+28/(2*51)

√2629=51+14/51≈51.2745.

3、※.极限法计算近似值

原理为当x趋近无穷小时，有(1±x) ᵃ≈1±ax，其中a为不为1的常数。

对于本题:

√2629=√(2601+28）

√2629=√[2601(1+28/2601）]

=51√(1+28/2601）

=51*[1+28/(2*2601)]

=51+14/51≈51.2745.

4、※.泰勒展开式计算近似值

∵f(x)=f(x₀)/0!+f'(x₀)(x-x₀)/1!+f”(x₀)(x-x₀)²/2!+O(x³)

∴f(x)=f(x₀)+f'(x₀)(x-x₀)+f”(x₀)(x-x₀)²/2+O(x³)

其中O(x³)表示x的三次无穷小。

5、对于本题幂函数y=f(x)=√x,有：

f'(x)=(1/2)x^(-1/2),f”(x)=-(1/4)x^(-3/2)，即：

f(x)≈f(x₀)+(1/2)x₀^(-1/2)(x-x₀)-(1/8)x₀^(-3/2)*(x-x₀)²。

对于本题，x=2629，x₀=2601,x-x₀=28,代入得：

√2629

≈√2601+(14/1)*2601^(-1/2)-(1/8)*28²*2601^(-3/2)

≈51+(14/1)*51⁻¹-(1/8)*28²*51⁻³

≈51+14/51-28²/(8*51³)

即：√2629≈51.2738。

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