隐函数45x^71x+51e^24y=73x^99y的导数计算

     本文主要通过链式求导、全微分求导和函数求导法则，介绍隐函数45x^71x+51e^24y=73x^99y的导数计算的主要过程和步骤。

主要方法与步骤

1、※.链式求导法

45x^71x+51e^24y=73x^99y,

隐函数变形有：

45e^(71xlnx)+ 51e^24y=73e^(99ylnx)

两边同时求导有：

45e^(71xlnx)*(71lnx+71x/x)+51e^24y*24y’=73e^(99ylnx)*(99y’lnx+99y/x),

3195e^(71xlnx)*(lnx+1)+1224e^24y*y’=7227e^(99ylnx)*(y’lnx+y/x),

y’=[7227e^(99ylnx)*y/x-3195e^(71xlnx)*(lnx+1)]/[ 1224e^24y-7227e^(99ylnx)lnx]

=9[803e^(99ylnx)*y/x-355e^(71xlnx)*(lnx+1)]/[136e^24y-803e^(99ylnx)lnx]

=9[803*x^99y*y/x-355*x^71x*(lnx+1)]/( [136e^24y-803*x^99ylnx)

=9[803*y*x^(99y-1) -355*x^71x*(lnx+1)]/( 136e^24y-803*x^99ylnx)。

2、导数也叫导函数值。又名微商，是微积分中的重要基础概念。当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f’（x0）或df（x0）/dx。

3、※.全微分法求导

隐函数变形为：

45e^(71xlnx)+51e^24y=73e^(99ylnx)，

4、使用全微分计算法，有：

45e^(71xlnx)*(71lnxdx+71dx)+1224*e^24ydy=73e^(99ylnx)*(99lnxdy+99ydx/x)

3195*e^(71xlnx)*(lnx+1)dx+1224*e^24ydy=7227*e^(99ylnx)*lnxdy+7227*e^(99ylnx)ydx/x

[1224*e^24y-7227*e^(99ylnx)*lnx]dy=[7227*e^(99ylnx)y/x-3195*e^(71xlnx)*(lnx+1)]dx

[1224*e^24y-7227*x^99y*lnx]dy=[7227*yx^(99y-1)- 3195*x^71x*(lnx+1)]dx

所以：dy/dx=[7227*yx^(99y-1)- 3195*x^71x*(lnx+1)] / [1224*e^24y-7227*x^99y*lnx]

=9 [803*y*x^(99y-1) -355*x^71x*(lnx+1)]/( 136e^24y-803*x^99ylnx)。

5、※.函数法

设F(x,y)=45x^71x+51e^24y-73x^99y，则F对x,y的偏导数有：

F’x=45e^(71xlnx)*(71lnx+71)-73e^(99ylnx)*99y/x

=3195*e^(71xlnx)(lnx+1)-7227*x^99y*y/x

=3195*x^71x*(lnx+1)-7227*y*x^(99y-1),

F’y=1224*e^24y-73e^(99ylnx)* 99lnx

=1224*e^24y-7227*x^99y*lnx。

此时所求函数y对x的导数有：

y’=-F’x/ F’y

=-[3195*x^71x*(lnx+1)- 7227*y*x^(99y-1)]/(1224*e^24y-7227*x^99y*lnx),

=9[803*y*x^(99y-1) -355*x^71x*(lnx+1)]/(136e^24y-803*x^99ylnx)。

6、

导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。

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