两种方法计算含有xy乘积的函数最小值举例F16

      本题主要考查配方法及导数的应用，非负数的性质，解题时注意配方的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值.

方法/步骤

1、      问题由来:若实数x,y满足W(x,y)=290x²-34xy+y²-48y+876x+1399,则w的最小值是多少？

2、※.配方法求解

   运用配方法将W(x,y)=290x²-34xy+y²-48y+876x+1399变形为W(x,y)=(ax+by+c)²+(dx+e)²-f形式，然后根据非负数的性质求出的最小值即可．

  解：W(x,y)=290x²-34xy+y-48y²+876x+1399

=289x²-34xy+y+816x-48y²+576+x²²+60x+900-77

=(17x-y)²+48(17x-y)+576+(x+30)²-77

=(17x-y+24)²+(x+30)²-77

3、∵x,y为实数，

∴(17x-y+24)²≥0，(x+30)²≥0,

此时x=-30，y=-486,

∴W的最小值为：Wmin=-77.

4、※.导数法求解

W(x,y)=290x²-34xy+y²-48y+876x+1399，求出W分别对变量x,y的偏导数，由偏导数同时为0来求出多元函数W的最小值。

W|x’=580x-34y+876,

W|y’=-34x+2y-48;

令W|x’=W|y’=0，则：

34y-580x=876,

2y-34x=48.

5、解二元一次方程组，有：

x=-30,y=-486;

此时将x,y代入到W表达式中，有：

Wmin=W(-30,-486)

=290*(-30)²-34*(-30)*(-486)+(-486)²

²-48*(-486)+876*(-30)+1399,

=261000-495720+236196–23328+(-26280)+1399,

=-77.

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