本文根据分部积分法、三角换元法以及凑分法等方法,介绍不定积分I=76x³/√58-6x²dx的计算步骤。
方法/步骤
1、介绍通过分部积分法、三角换元法以及凑分法等方法,计算不定积分的详细过程与步骤。
2、解法一:思路:根据分子分母的关系,直接变形化简使用凑分法求得:
I=-∫(38/3)[x(58-6x^2)-58x]dx/√(58-6x^2)
=-(38/3)∫x(58-6x^2)dx/√(58-6x^2)+ (2204/3)∫xdx/√(58-6x^2)
=-(38/3)∫x√(58-6x^2)dx-(2204/1)*1/6^2∫d(58-6x^2)/√(58-6x^2)
=-38 *1/6^2∫√(58-6x^2)d(58-6x^2)- 4408*1/6^2√(58-6x^2)
=(76/3) *1/6^2√(58-6x^2)^3-4408 *1/6^2*√(58-6x^2)+c
3、解法二:思路:利用不定积分的分部积分方法求得:
I=76∫x^2*xdx/√(58-6x^2)
=-(19/3)∫x^2d(58-6x^2)/√(58-6x^2)
=-(19/3)∫x^2d√(58-6x^2)=-(19/3)x^2√(58-6x^2)+(19/3) ∫√(58-6x^2)dx^2
=-(19/3)x^2√(58-6x^2)-38*1/6^2∫√(58-6x^2)d(58-6x^2)
=-(19/3)x^2√(58-6x^2)-(76/3)*1/6^2√(58-6x^2)^3+c
4、解法三:
思路:利用三角函数的代换关系,进行三角换元积分求得。
设x=√(29/3)sint,则cost=(1/√58)√(58-6x^2),此时:
5、I=(4408/6)*√(29/3)∫sin^3td[√(29/3)sint]/√(58-58sin^2t),
=76*(29/3)^2∫sin^3tcostdt/√58*cost,
=(4408√58 /6^2)∫sin^3tdt,
=(4408√58 /6^2)∫sint(1-cos^2 t)dt
=(4408√58 /6^2)∫sintdt-(4408√58 /6^2)∫sintcos^2 tdt
=-(4408√58 /6^2)cost+(4408√58 /6^2)∫cos^2tdcost=-(4408√58 /6^2)cost+(4408√58 /3*6^2)cos^3t+c
=-(4408/6^2)√(58-6x^2)+(76/3)*(1/6^2)√(58-6x^2)^3+c.
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