不定积分76x³/√58-6x²的计算步骤过程

本文根据分部积分法、三角换元法以及凑分法等方法,介绍不定积分I=76x³/√58-6x²dx的计算步骤。

方法/步骤

1、介绍通过分部积分法、三角换元法以及凑分法等方法,计算不定积分的详细过程与步骤。

图片[1]-不定积分76x³/√58-6x²的计算步骤过程-趣考网

2、解法一:思路:根据分子分母的关系,直接变形化简使用凑分法求得:

I=-∫(38/3)[x(58-6x^2)-58x]dx/√(58-6x^2)

=-(38/3)∫x(58-6x^2)dx/√(58-6x^2)+ (2204/3)∫xdx/√(58-6x^2)

=-(38/3)∫x√(58-6x^2)dx-(2204/1)*1/6^2∫d(58-6x^2)/√(58-6x^2)

=-38 *1/6^2∫√(58-6x^2)d(58-6x^2)- 4408*1/6^2√(58-6x^2)

=(76/3) *1/6^2√(58-6x^2)^3-4408 *1/6^2*√(58-6x^2)+c

图片[2]-不定积分76x³/√58-6x²的计算步骤过程-趣考网

3、解法二:思路:利用不定积分的分部积分方法求得:

  I=76∫x^2*xdx/√(58-6x^2)

   =-(19/3)∫x^2d(58-6x^2)/√(58-6x^2)

   =-(19/3)∫x^2d√(58-6x^2)=-(19/3)x^2√(58-6x^2)+(19/3) ∫√(58-6x^2)dx^2

   =-(19/3)x^2√(58-6x^2)-38*1/6^2∫√(58-6x^2)d(58-6x^2)

   =-(19/3)x^2√(58-6x^2)-(76/3)*1/6^2√(58-6x^2)^3+c

图片[3]-不定积分76x³/√58-6x²的计算步骤过程-趣考网

4、解法三:

思路:利用三角函数的代换关系,进行三角换元积分求得。

设x=√(29/3)sint,则cost=(1/√58)√(58-6x^2),此时:

图片[4]-不定积分76x³/√58-6x²的计算步骤过程-趣考网

5、I=(4408/6)*√(29/3)∫sin^3td[√(29/3)sint]/√(58-58sin^2t),

=76*(29/3)^2∫sin^3tcostdt/√58*cost,

=(4408√58 /6^2)∫sin^3tdt,

=(4408√58 /6^2)∫sint(1-cos^2 t)dt

=(4408√58 /6^2)∫sintdt-(4408√58 /6^2)∫sintcos^2 tdt

=-(4408√58 /6^2)cost+(4408√58 /6^2)∫cos^2tdcost=-(4408√58 /6^2)cost+(4408√58 /3*6^2)cos^3t+c

 =-(4408/6^2)√(58-6x^2)+(76/3)*(1/6^2)√(58-6x^2)^3+c. 

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