本经验主要通过4道例题,详细介绍二次项展开式定理的运用计算步骤。
方法/步骤
1、※.已知[a/36x-√(x/3)]^9的展开式中x^3的系数为3/2,求常数a的值。
解:展开式通式Tᵣ =C(9,r)*(a/36x)^(9-r)*[-√(x/3)]^r,
=C(9,r)*a^(9-r)*(36x)^(r-9)*(-1)^r*(x/3)^(r/2),
=C(9,r)*(-1)^r*a^(9-r)*36^(r-9)*(1/3)^(r/2)*x^(3r/2-9),
=C(9,r)*(-1)^r*(a/36)^(9-r)* (1/3)^(r/2) *x^(3r/2-9),
根据题意有:
3r/2-9=3,求出r=8,代入有:
9-r=9-8=1,
C(9,r)=C(9,8)=9,
(-1)^r=(-1)^8=1,
(1/3)^(r/2)= (1/3)^4
根据系数关系有:
9*a/36*(1/3)^4=3/2,
即:a=3/2*3^4*36/9,所以a=486.
2、※.若(x^4+2/x^2)^n的展开式各系数的和为729,则n和展开式的常数项分别是多少?
解:求n时使用特殊值法计算,取x=1时,有:
(1+2)^n=729,
即可求出n=6.
本题展开式通式为:
Tᵣ=C(6,r)*(x^4)^(6-r)*(2/x^2)^r
=C(6,r)*1^(6-r)*x^(4*6-4r)*2^r *x^(-2r)
=C(6,r)*1^(6-r)*2^r*x^(4*6-4r-2r)
因为求常数,所以:4*6-4r-2r=0,
即r=4,则此时的系数为:
Tᵣ=C(6,r)*1^(6-r)*2^r
=C(6, 4)*1^(6-4)*2^r=15*1*16=240.
3、※.求二项展开式(2x+4)⁵中偶数项的系数和。
解:根据题意,设:
(2x+4)⁵=a₀x⁵+a₁x⁴+a₂x³+a₃x²+a₄x+a₅,
偶数项的系数是a₁,a₃,a₅,
分别令x=1和x=-1,有:
(2+4)⁵=a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅,
(2-4)⁵=-a₀+a₁-a₂+a₃-a₄+a₅,
两式子相加有:
2(a₁+a₃+a₅)=(2+4)⁵+(2-4)⁵,即:
2(a₁+a₃+a₅)=7776-32,
2(a₁+a₃+a₅)=7744,所以:a₁+a₃+a₅=3872。
4、
※.在(3-2x)^5*(35+7x)展开式中,x^2的系数是多少?
解:对(3-2x)^5来说,展开通项有:
Tᵣ=C(5,r)* 3^(5-r)*(-2x)^r
=C(5,r)* 3^(5-r)*(-2)^r* x^r
题意要求x^2的系数,考虑到35+7x有常数项和x的一次项,所以系数是两个系数的和,分别为r=2和r=1,则:
T=T₁+T₂
=35*C(5,2)*3^(5-2)*(-2)^2+7*C(5,1)*3^(5-1)*(-2)^1
=35*1080-7*810=37800-5670=32130.
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