高中数学二次项定理应用习题举例详解C11

本经验主要通过4道例题，详细介绍二次项展开式定理的运用计算步骤。

方法/步骤

1、※.若(2x^5+1/x^0)^n的展开式各系数的和为243，则n和展开式的常数项分别是多少？

解：求n时使用特殊值法计算，取x=1时，有：

(2+1)^n=243,

即可求出n=5.

本题展开式通式为：

Tᵣ=C(5,r)*(2x^5)^(5-r)*(1/x^0)^r

=C(5,r)*2^(5-r)*x^(5*5-5r)*1^r *x^()

=C(5,r)*2^(5-r)*1^r*x^(5*5-5r)

因为求常数，所以：5*5-5r=0，

即r=5，则此时的系数为：

Tᵣ=C(5,r)*2^(5-r)*1^r

=C(5, 5)*2^(5-5)*1^r=1*1*1=1.

2、※.已知[a/30x-√(x/2)]^15的展开式中x^6的系数为5/2，求常数a的值。

解：展开式通式Tᵣ =C(15,r)*(a/30x)^(15-r)*[-√(x/2)]^r,

=C(15,r)*a^(15-r)*(30x)^(r-15)*(-1)^r*(x/2)^(r/2),

=C(15,r)*(-1)^r*a^(15-r)*30^(r-15)*(1/2)^(r/2)*x^(3r/2-15),

=C(15,r)*(-1)^r*(a/30)^(15-r)* (1/2)^(r/2) *x^(3r/2-15),

根据题意有：

3r/2-15=6,求出r=14，代入有：

15-r=15-14=1,

C(15,r)=C(15,14)=15，

(-1)^r=(-1)^14=1，

(1/2)^(r/2)= (1/2)^7

根据系数关系有：

15*a/30*(1/2)^7=5/2,

即：a=5/2*2^7*30/15,所以a=640.

3、※.在(2-3x)^6*(24+48x)展开式中，x^3的系数是多少？

解：对(2-3x)^6来说，展开通项有：

Tᵣ=C(6,r)* 2^(6-r)*(-3x)^r

=C(6,r)* 2^(6-r)*(-3)^r* x^r

题意要求x^3的系数，考虑到24+48x有常数项和x的一次项，所以系数是两个系数的和，分别为r=3和r=2，则：

T=T₁+T₂

=24*C(6,3)*2^(6-3)*(-3)^3+48*C(6,2)*2^(6-2)*(-3)^2

=-24*4320+48*2160=-103680+103680=0.

4、※.求二项展开式(3x+2)⁵中偶数项的系数和。

解：根据题意，设：

(3x+2)⁵=a₀x⁵+a₁x⁴+a₂x³+a₃x²+a₄x+a₅,

偶数项的系数是a₁，a₃，a₅，

分别令x=1和x=-1，有：

(3+2)⁵=a₀+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅,

(3-2)⁵=-a₀+a₁-a₂+a₃-a₄+a₅,

两式子相加有：

2(a₁+a₃+a₅)=(3+2)⁵+(3-2)⁵,即：

2(a₁+a₃+a₅)=3125+1,

2(a₁+a₃+a₅)=3126,所以：a₁+a₃+a₅=1563。

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