已知2a+21b=9,求ab的最大值方法

      本文详细介绍通过代入法、三角换元法、判别式法、中值替换法、不等式法、几何数形法、构造函数等方法计算ab已知条件下的最大值。

方法/步骤

1、思路一：直接代入法

根据已知条件，替换b，得到关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。

ab

=a(3/7-2/21*a)

=-2/21*a^2+3/7*a

=-2/21(a-9/4)^2+27/56，

则当a=9/4时，ab有最大值为27/56。

2、思路二：判别式法

设ab=p，得到b=p/a,代入已知条件关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。

2a+21b=9,

2a+21p/a=9,

2a^2-9a+21p=0,对a的二次方程有：

判别式△=81-168p≥0,即：

p≤27/56,

此时得ab=p的最大值=27/56。

3、思路三：三角换元法

将ab表示成三角函数，进而得ab的最大值。

由2a+21b=9，要求ab的最大值，不妨设a，b均为正数，

设2a=9(cost)^2，21b=9(sint)^2，则：

a=(cost)^2,b=3/7(sint)^2,代入得：

ab=(cost)^2*3/7(sint)^2,

=27/56*(sin2t)^2,

当sin2t=±1时，ab有最大值=27/56。

4、思路四：中值代换法

设2a=9/2+t,21b=9/2-t，则：

a=(1/2)(9/2+t),b=(1/21)(9/2-t)

此时有：

ab=1/42*(9/2+t)*(9/2-t)

=1/42*(81/4-t^2)。

当t=0时，即：ab≤27/56,

则ab的最大值为27/56。

5、思路五：不等式法

当a，b均为正数时，则：

∵2a+21b≥2√42*ab,

∴(2a+21b)^2≥168*ab,

81≥168*ab,

即：ab≤27/56,

则ab的最大值为27/56。

6、思路六：数形几何法

7、思路七:构造函数法

设函数f(a,b)=ab-λ(2a+21b-9),

则偏导数f’a=b-2λ,f’b=a-21λ,

f’λ=2a+21b-9。

令f’a=f’b=f’λ=0，则：

b=2λ,a=21λ。进一步代入得：

42λ+42λ=9,即λ=3/28.

则有a=9/4,b=3/14.

ab的最大值=9/4*3/14=27/56。

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