如何画函数y=√x(101x+16/x)的图像示意图?

本文主要介绍根式分式复合函数的定义域、值域、单调和凸凹性等性质，并通过导数知识计算函数的单调区间和凸凹区间，画出y=√x(101x+16/x)的图像。

方法/步骤

1、※.函数的定义域

∵√x有x≥0；对16/x有x≠0.∴函数的定义域为：(0，+∞）。

2、函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围。换句话说，定义域是函数中x的允许值的集合。

3、※.函数的单调性

∵y=√x(101x+16/x)

=101x^(3/2)+16x^(-1/2),对x求导得：

∴dy/dx

=(3/2)*101x^(1/2)-(16/2)x^(-3/2)

=(1/2)x^(-3/2)(3*101x²-16).

令dy/dx=0,则x²=16/303.

又因为x>0，则x=(4/303)√303≈0.23.

(1)当x∈(0, (4/303)√303)时，dy/dx＜0,函数y为单调减函数；

(2)当x∈[(4/303)√303,+∞)时，dy/dx＞0,函数y为单调增函数。

4、※.函数的凸凹性

∵dy/dx=(1/2)x^(-3/2)(3*101x²-16)，

∴d^2y/dx^2

=-3/4*x^(-5/2)(3*101x²-16)+3*101x*x^(-3/2)

=-3/4*x^(-5/2)(3*101x²-16)+3*101x^(-1/2)

=-3/4x^(-5/2)(3*101x²-16-4*101x²)

=3/4x^(-5/2)(101x²+16)>0,则：

函数y在定义域上为凹函数。

5、※.函数的极限

Lim(x→0) √x(101x+16/x)=+∞

Lim(x→+∞) √x(101x+16/x)=+∞。

6、综合以上函数的定义域、单调性、凸凹性、极限等性质，函数的示意图如下：

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