函数y=√x(63x+57.x)的性质解析及图像示意图

本文主要介绍根式分式复合函数的定义域、值域、单调和凸凹性等性质，并通过导数知识计算函数的单调区间和凸凹区间，画出y=√x(63x+57/x)的图像。

方法/步骤

1、※.函数的定义域

∵√x有x≥0；对57/x有x≠0.∴函数的定义域为：(0，+∞）。

2、函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围。换句话说，定义域是函数中x的允许值的集合。

3、※.函数的单调性

∵y=√x(63x+57/x)

=63x^(3/2)+57x^(-1/2),对x求导得：

∴dy/dx

=(3/2)*63x^(1/2)-(57/2)x^(-3/2)

=(1/2)x^(-3/2)(3*63x²-57).

令dy/dx=0,则x²=19/63.

又因为x>0，则x=(1/21)√133≈0.55.

(1)当x∈(0, (1/21)√133)时，dy/dx＜0,函数y为单调减函数；

(2)当x∈[(1/21)√133,+∞)时，dy/dx＞0,函数y为单调增函数。

4、 如果函数y=f(x)在区间D内可导(可微)，若x∈D时恒有f'(x)>0，则函数y=f(x)在区间D内单调增加;反之，若x∈D时，f'(x)<0,则称函数y=f(x)在区间D内单调减少。

5、※.函数的凸凹性

∵dy/dx=(1/2)x^(-3/2)(3*63x²-57)，

∴d^2y/dx^2

=-3/4*x^(-5/2)(3*63x²-57)+3*63x*x^(-3/2)

=-3/4*x^(-5/2)(3*63x²-57)+3*63x^(-1/2)

=-3/4x^(-5/2)(3*63x²-57-4*63x²)

=3/4x^(-5/2)(63x²+57)>0,则：

函数y在定义域上为凹函数。

6、※.函数的极限

Lim(x→0) √x(63x+57/x)=+∞

Lim(x→+∞) √x(63x+57/x)=+∞。

7、综合以上函数的性质，函数的示意图如下：

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