七道数学极限练习题及计算过程A2

     本经验以极限分子分母根据所求极限条件，以及使用重要极限公式lim(x→0)sinx/x=1，lim(x→0)(1+x)^(1/x)=e和三角函数公式，介绍7种不同情形下函数极限的计算过程。

主要方法与步骤

1、1.计算lim(n→∞)(23n²-4)/(5n⁴+7n-25)

解：观察所求极限特征，可知所求极限的分母此时为2，分子的次数为4，且分子分母没有可约的因子，则当n趋近无穷大时，所求极限等于0。

本题计算方法为分子分母同时除以n⁴，即：

lim(n→∞)(23n²-4)/(5n⁴+7n-25)

=lim(n→∞)(23/n-4/n⁴)/(5+7/n³-25/n⁴),

=0。

2、2.计算lim(n→∞)(13n-17n-13)/(32+3n-43n²)

解：思路一：观察所求极限特征，可知所求极限的分子分母的次数相同均为2，且分子分母没有可约的因子，则分子分母同时除以n²，即：

lim(n→∞)(13n²-17n-13)/(32+3n-43n²)

=lim(n→∞)(13-17/n-13/n²)/(32/n+3/n-43),

=(13-0)/(0-43),

=-13/43。

   思路二：本题所求极限符合洛必达法则，有：

lim(n→∞)( 13n²-17n-13)/(32+3n-43n²)

=lim(n→∞)(26n-17)/(3-86n)，继续使用罗必塔法则，

=lim(n→∞)(26-0)/(0-86)，

=-13/43。

3、3.求极限lim(x→1)(x³-37x+36)/(x⁴-3x+2)

解：观察极限特征，所求极限为定点x趋近于1，又分子分母含有公因式x-1，即x=1是极限函数的可去间断点，则：

lim(x→1)(x³-37x+36)/(x⁴-3x+2)

=lim(x→1)(x-1)(x²+x-36)/[(x-1)(x³+x²+x-2)],

=lim(x→1)(x²+x-36)/(x³+x²+x-2),

=(1+1-36)/(1+1+1-2),

=-34/1。

4、4.求lim(x→0)(7x+27sin9x)/(28x-5sin9x)

解：思路一：本题思路主要通过重要极限公式lim(x→0)sinx/x=1应用计算而得，则：

lim(x→0)(7x+27sin9x)/(28x-5sin9x)，

=lim(x→0)(7+27sin9x/x)/(28-5sin9x/x)，

=lim(x→0)(7+243sin9x/9x)/(28-45sin9x/9x)，

=(7+243)/(28-45)，

=-250/17。

思路二：使用罗必塔法则计算有：

lim(x→0)(7x+27sin9x)/(28x-5sin9x)，

=lim(x→0)(7+27*9cos9x)/(28-5*9cos9x)，

=(7+27*9)/(28-5*9)，

=-250/17。

5、5.求lim(x→∞)(x²sin1/x)/(47x+55)。

解：本题思路是分子分母同时除以x，并变形使用重要极限公式lim(x→0)sinx/x=1，则：

lim(x→∞)(x²sin1/x)/(47x+55)

=lim(x→∞)(xsin1/x)/[(47x+55)/x],

=lim(x→∞)[sin(1/x)/(1/x)]/[47+(55/x)],

=1/{lim(x→∞)[47+(55/x)]},

=1/47。

6、6.求lim(x→0)(sin49x-sin79x)/sin15x.

解：思路一：对分母进行三角和差化积，再进行极限计算，有：

lim(x→0)(sin49x-sin79x)/sin15x

=lim(x→0)2cos64xsin(-15x)/sin15x,

=lim(x→0) -2cos64x,

=-2cos0=-2。

思路二：使用罗必塔法则计算有：

lim(x→0)(sin49x-sin79x)/sin15x,

=lim(x→0)(49cos49x-sin79cos79x)/(15cos15x)，

=lim(x→0)(49-79)/15，

=-2。

7、7.求lim(x→0)(1+15x)^(22/13x)。

解：本题主要通过使用重要极限公式lim(x→0)(1+x)^(1/x)=e计算而得，则：

lim(x→0)(1+15x)^(22/13x),

=lim(x→0){[(1+15x)^(1/15x)]}^(22*15/13),

=e^(22*15/13),

=e^(330/13)。

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