函数y=cos²(158x+115)的一阶导数计算

本文通过函数导数的定义、链式求导法则，以及三角函数和差化积、倍角公式、正弦函数导数、余弦函数导数公式等，介绍三种方法计算函数y=cos²(158x+115)的一阶导数。

方法/步骤

1、本文通过函数导数的定义、链式求导法则，以及三角函数和差化积、倍角公式、正弦函数导数、余弦函数导数公式等，介绍三种方法计算函数y=cos²(158x+115)的一阶导数。

2、※.导数定义计算法

【思路】：对于函数y=f(x)，其导数的极限定义为：

f'(x)=lim(t→0)[f(x+t)-f(x)]/t，则对本题有：

dy/dx= lim(t→0){cos²[158(x+t) +115]-cos²(158x+115)}/t，分子平方差公式有：

=lim(t→0){[cos(158x+158t+115)-cos(158x+115)]*[cos(158x+158t+115)+cos(158x+115)]}/t,

使用三角函数和差化积对分子有：

3、=lim(t→0){[cos(158x+158t+115)-cos(158x+115)]*[cos(158x+158t+115)+cos(158x+115)]}/t,

=lim(t→0){-4cos[158x+115+(158t/2)]sin(158t/2)*sin[158x+115+(158t/2)]*cos(158t/2)}/t

=lim(t→0)-2cos[158x+115+(158t/2)]sin[158x+115+(158t/2)]* lim(t→0){2sin(158t/2)*cos(158t/2)}/t,

=-158lim(t→0)sin[2(158x+115)+158t]*lim(t→0)sin(158t)/(158t),

=-158*sin2(158x+115)*1=-158sin2(158x+115)。

4、※.导数公式计算法

[思路]：函数由y=u²，u=cosv，v=ax+b复合而成，即可用链式求导法则计算函数的导数。

∵y=cos²(158x+115)

∴dy/dx=2*cos(158x+115)*[cos(158x+115)]’

=-2cos(158x+115)*sin(158x+115)*(158x+115)’=-158sin2(158x+115)。

5、※ .综合方法运用

[思路]：函数y为正弦的二次函数，可以用三角函数的二倍角公式，将其降幂，再使用余弦函数的导数公式计算即可。

∵y=cos²(158x+115)=(1/2)[1+cos2(158x+115)]=1/2+(1/2)cos2(158x+115)

∴dy/dx=0+(1/2)*[-cos2(158x+115)]*316

=-(1/2)*sin2(158x+115)*316=-158sin2(158x+115)。

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