函数9x^2+87y^2+34z^2=4的导数计算

本文通过全微分法、直接求导、构造函数求导以及多元函数求导法则，介绍计算隐函数9x^2+87y^2+34z^2=4的一阶和二阶导数的过程和主要步骤。

方法/步骤

1、全微分求一阶导数

∵9x²+87y²+34z²=4,

∴18xdx+174ydy+68zdz=0，即：

34zdz=-9xdx-87ydy,

dz=-9xdx/34z-87ydy/34z，所以：

dz/dx=-9x/34z，dz/dy=-87y/34z。

2、直接求导法：

9x²+87y²+34z²=4,

对隐函数方程两边同时对x求导，得：

18x+0+68zdz/dx=0

34zdz/dx=-9x，即：dz/dx=-9x/34z.

再对方程两边同时对y求导，得：

0+174y+68zdz/dy=0

34zdz/dy=-87y，即：dz/dy=-87y/34z.

3、构造函数求导：

F(x,y,z)=9x²+87y²+34z²-4，则：

Fz=68z，Fx=18x，Fy=174y,则：

dz/dx=-Fx/Fz=-18x/68z=-9x/34z;

dz/dy=-Fy/Fz=-174y/68z=-87y/34z.

4、(1)求二阶偏导数∂²z/∂²x:

∵dz/dx=-9x/34z，

∴∂²z/∂²x=-9/34*(z+xdz/dx)/z²

=-9/34*(z+9x²/34z)/z²

=-9/1156*(34z²+9x²)/z³.

5、(2)求二阶偏导数∂²z/∂²y:

∵dz/dy=-87y/34z.

∴∂²z/∂²y=-87/34*(z+ydz/dy)/z²

=-87/34*(z+87y²/34z)/z²

=-87/1156*(34z²+87y²)/z³.

6、(3)求二阶偏导数∂²z/∂x∂y:

∵dz/dx=-9x/34z，dz/dy=-87y/34z.

∴∂²z/∂x∂y =9/34*(xdz/dy)/z²

=9/34*(-87xy/34z)/z²

=-783/1156*xy/z³.

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