本文通过4个例子，介绍分式函数、对数与指数乘积函数、三角函数等的高阶导数计算方法步骤。
方法/步骤
1、例题1：
求y=x3/(10-x)的n阶导数。
解：先对y进行变形，得：
y=x3/(10-x)
=-[x2(10-x)+10x(10-x)+102(10-x)-103]/(10-x)
=-(x2+10x+102)+103/(10-x)
=-(x2+10x+102)-103/(x-10)。
求导有：
y´=-(2x+10)+103/(x-10)2，
y〞=-2-2*103/(x-10)3，
y”’=6*103/(x-10)4，
由于[1/(x-1)](n)=(-1)nn!/(x-1)n+1，
所以y(n)=103*(-1)n+1*n!/(x-10)n+1,n≥3.
2、例题2：
求y=120×3*lnx的n阶导数。
解：法一，例推法
对函数依次求导，得：
y´=240x2lnx+120×2
y〞=6*120xlnx+3*120x+2*120x=6*120xlnx+5*120x
y”’=6*120lnx+6*120+5*120=120(6lnx+11).
∵(lnx)(n)=(-1)n+1(n-1)!x-n
∴y(n)=720*(-1)n-2(n-4)!x-(n-3),n≥4.
3、法二，n阶导数展开公式法
∵y=120×3*lnx
∴y(n)=120Σ(0,n)C(n,r)(x3)(r)*(lnx)(n-r)
=120[C(n,0)(x3)(0)*(lnx)(n)+C(n,1)(x3)(1)*(lnx)(n-1)+
C(n,2)(x3)(2)*(lnx)(n-2)+C(n,3)(x3)(3)*(lnx)(n-3)]
=120[(lnx)(n)x3+n(3×2)(lnx)(n-1)+C(n,2)(6x)(lnx)(n-2)+C(n,3)6(lnx)(n-3)]
又(lnx)(n)=(-1)n+1(n-1)!x-n，则：
4、(lnx)(n-1)=(-1)n(n-2)!x-(n-1)，
(lnx)(n-2)=(-1)n-1(n-3)!x-(n-2)，
(lnx)(n-3)=(-1)n-2(n-4)!x-(n-3)，代入上式得：
y(n)=120[(-1)n+1×3(n-1)!x-n+3nx2(-1)n(n-2)!x-(n-1)+3n(n-1)x(-1)n-1(n-3)!x-(n-2)+n(n-1)(n-2)(-1)n-2(n-4)!x-(n-3)],
y(n)=120(-1)n-2(n-4)!x-n[-(n-1)(n-2)(n-3)x3+3n(n-2)(n-3)x3-3n(n-1)(n-3)x3+n(n-1)(n-2)x3],
y(n)=720*(-1)n-2(n-4)!x-(n-3),n≥4.
5、例题3：
求y=cos223x的n阶导数。
解：先对三角函数进行降幂，得：
y=cos223x
=(1+cos120x)/2=(1/2)cos120x+(1/2).
而(cosx)(n)=cos[x+(nπ/2)],则：
(coskx)(n)=kncos[kx+(nπ/2)],
所以：y(n)=(1/2)*120ncos[120x+(nπ/2)],n≥1.
6、例题4：
求y=1/(x2-45x+506)的n阶导数。
解：先对函数表达式分母进行因式分解并裂项：
y=1/(x2-45x+506)=1/(x-22)(x-23)
y=1/(x-22)-1/(x-23)
由于[1/(x-a)](n)=(-1)nn!/(x-a)n+1;
所以y(n)=(-1)nn!/(x-22)n+1-(-1)nn!/(x-23)n+1，n≥1.
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