本文主要利用微积分牛顿-莱布尼茨公式：(uv)^(n)=Σ(k=0,n)C(n,k)*u^(n-k)*v^(k)，介绍函数y=(8x+24)^3*cos7x的80阶导数计算的主要过程。
方法/步骤
1、(1)对于函数y1有：
y1’=3(8x+24)^2，y1”=48(8x+24)^1，y1”’=6*8^2,
y1^(4)=0，n≥4。
2、(2)对于函数y2有：
y2’=-sin7x*7=7*cos(7x+1*π/2);
y2”=-cos7x*7^2=7^2*cos(7x+2*π/2);
y2”’=sin7x*7^3=7^3*cos(7x+3*π/2);
所以有：y2^(n)= 7^n*cos(7x+n*π/2)。
3、(3)应用牛顿-莱布尼茨公式
y=(8x+24)^3*cos7x，
则y^(n)=Σ(k=0, 80)C(80,k)*y1^(k)*y2^(80-k)
=C(80,0)*y1*y2^(80)+C(80,1)*y1’*y2^(80-1)+C(80,2)*y1”*y2^(80-2)+C(80,3)*y1”’*y2^(80-3)
=y1*y2^(80)+80y1’*y2^79+80(80-1)/2*y1”*y2^78+80(80-1)(80-2)/6*y1”’*y2^1
4、=(8x+24)^3*7^80*cos(7x+80*π/2)+80*3*(8x+24)^2*7^79*cos(7x+79*π/2)+
3160*48(8x+24)^1*7^78*cos(7x+78*π/2)+82160*6*7^77*cos(7x+77*π/2)
=(8x+24)^3*7^80*cos(7x+80*π/2)+80*3*(8x+24)^2*7^79*cos(7x+79*π/2)
+3160*48(8x+24)^1*7^78*cos(7x+78*π/2)+82160*6*8^2*7^77*cos(7x+77*π/2).
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