详细介绍函数y=cos²(25x-229)的一阶导数计算

本文通过函数导数的定义、链式求导法则，以及三角函数和差化积、倍角公式、正弦函数导数、余弦函数导数公式等，介绍三种方法计算函数y=cos²(25x-229)的一阶导数。

方法/步骤

1、本文通过函数导数的定义、链式求导法则，以及三角函数和差化积、倍角公式、正弦函数导数、余弦函数导数公式等，介绍三种方法计算函数y=cos²(25x-229)的一阶导数。

2、※.导数定义计算法

【思路】：对于函数y=f(x)，其导数的极限定义为：

f'(x)=lim(t→0)[f(x+t)-f(x)]/t，则对本题有：

dy/dx= lim(t→0){cos²[25(x+t) -229]-cos²(25x-229)}/t，分子平方差公式有：

=lim(t→0){[cos(25x+25t-229)-cos(25x-229)]*[cos(25x+25t-229)+cos(25x-229)]}/t,

使用三角函数和差化积对分子有：

3、=lim(t→0){[cos(25x+25t-229)-cos(25x-229)]*[cos(25x+25t-229)+cos(25x-229)]}/t,

=lim(t→0){-4cos[25x-229+(25t/2)]sin(25t/2)*sin[25x-229+(25t/2)]*cos(25t/2)}/t

=lim(t→0)-2cos[25x-229+(25t/2)]sin[25x-229+(25t/2)]* lim(t→0){2sin(25t/2)*cos(25t/2)}/t,

=-25lim(t→0)sin[2(25x-229)+25t]*lim(t→0)sin(25t)/(25t),

=-25*sin2(25x-229)*1=-25sin2(25x-229)。

4、※.导数公式计算法

[思路]：函数由y=u²，u=cosv，v=ax+b复合而成，即可用链式求导法则计算函数的导数。

∵y=cos²(25x-229)

∴dy/dx=2*cos(25x-229)*[cos(25x-229)]’

=-2cos(25x-229)*sin(25x-229)*(25x-229)’=-25sin2(25x-229)。

5、※ .综合方法运用

[思路]：函数y为正弦的二次函数，可以用三角函数的二倍角公式，将其降幂，再使用余弦函数的导数公式计算即可。

∵y=cos²(25x-229)=(1/2)[1+cos2(25x-229)]=1/2+(1/2)cos2(25x-229)

∴dy/dx=0+(1/2)*[-cos2(25x-229)]*50

=-(1/2)*sin2(25x-229)*50=-25sin2(25x-229)。

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