两点间距离最小值计算应用解析A4

█已知两点其中一点含有参数情形:例题：已知平面直角坐标系上有两点，点P(12,1)与点Q(x,x+1)，则PQ的最小值为多少？

█已知两点都含有参数情形:例题：已知平面直角坐标系内有两点，点G(38,b)与点H(b+33,93)，则GH的最小值为多少？

█已知两点过抛物线情形:例题：已知点A(t,y₁)与点B(t+2,y₂)在抛物线y= x²/2的图像上，且-2≤t≤2，则线段AB长的最大值、最小值分别是多少？

█已知两点过反比例函数情形:例题：在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数y=121/x的图像交于点E，F两点，则直线EF长的最小值多少？

方法/步骤

1、█已知两点其中一点含有参数情形

例题1：已知平面直角坐标系上有两点，点P(12,1)与点Q(x,x+1)，则PQ的最小值为多少？

解：本例子中，P,Q两个点中，其中一个点含有未知数，

根据两点间公式，有：

PQ=√[(x-12)²+(x+1-1)²],

=√[(x-12)²+x²],

=√[2(x-6)²+72],

可知当x=6时，PQ有最小值，即：

PQmin=√(0+72)=6√2.

2、█已知两点都含有参数情形

例题2：已知平面直角坐标系内有两点，点G(38,b)与点H(b+33,93)，则GH的最小值为多少？

解：根据两点间公式，有：

GH=√[(38-b-33)²+(b-93)²],

=√[(b+5)²+( b-93)²],

=√[2(b-44)²+4802],

同理，根式内部看成b的一元二次方程，可知当b=44时，GH有最小值，此时最小值为：

GH=√(0+4802)=49√2.

3、█已知两点过抛物线情形

例题3：已知点A(t,y₁)与点B(t+2,y₂)在抛物线y= x²/2的图像上，且-2≤t≤2，则线段AB长的最大值、最小值分别是多少？

解：根据两点间公式，有：

AB=√[(t+2-t)²+( y₂-y₁)²],

=√[(2²+( y₂-y₁)²].

由于两点在抛物线上，则：

y₂-y₁=(1/2)[(t+2)²-t²]=(1/2) (2*2t+2²),

4、此时AB=√[2²+(1/2)²(2*2t+2²)²]

=2√[1+(1/2)²(2t+2)²],

=√[2²+(2t+2)²]，则有：

当2t=-2时，有ABmin=2.

当t=2时，有：

ABmax=√[2²+(2*2+2)²]

=2√10.

5、█已知两点过反比例函数情形

例题4：在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数y=121/x的图像交于点E，F两点，则直线EF长的最小值多少？

解：设E (t, 121/t)，根据交点的对称性可知，F (-t,-121/t)，

由两点距离公式有：

EF=√[(t+t)²+(121/t+121/t)²]

=√(4*t²+4*121²/t²)

=2√(t²+121²/t²)

≥2√(2*121)=22√2.

6、知识点：本题反比例函数图像在第一、三象限，过原点的直线为正比例函数，则与反比例函数的交点必在第一象限和第三象限，且这两个点的横、纵坐标分别互为相反数。

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