两点间距离最小值计算应用解析A15

█已知两点其中一点含有参数情形:例题：已知平面直角坐标系上有两点，点A(4,13)与点B(d,d+13)，则AB的最小值为多少？

█已知两点都含有参数情形:例题：已知平面直角坐标系内有两点，点G(12,m)与点H(m+7,33)，则GH的最小值为多少？

█已知两点过抛物线情形:例题：已知点C(t,y₁)与点D(t+3,y₂)在抛物线y= x²/2的图像上，且-10≤t≤10，则线段CD长的最大值、最小值分别是多少？

█已知两点过反比例函数情形:例题：在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数y=5/x的图像交于点K，L两点，则直线KL长的最小值多少？

方法/步骤

1、█已知两点其中一点含有参数情形

例题1：已知平面直角坐标系上有两点，点A(4,13)与点B(d,d+13)，则AB的最小值为多少？

解：本例子中，A,B两个点中，其中一个点含有未知数，

根据两点间公式，有：

AB=√[(d-4)²+(d+13-13)²],

=√[(d-4)²+d²],

=√[2(d-2)²+8],

可知当d=2时，AB有最小值，即：

ABmin=√(0+8)=2√2.

2、█已知两点都含有参数情形

例题2：已知平面直角坐标系内有两点，点G(12,m)与点H(m+7,33)，则GH的最小值为多少？

解：根据两点间公式，有：

GH=√[(12-m-7)²+(m-33)²],

=√[(m+5)²+( m-33)²],

=√[2(m-14)²+722],

同理，根式内部看成m的一元二次方程，可知当m=14时，GH有最小值，此时最小值为：

GH=√(0+722)=19√2.

3、█已知两点过抛物线情形

例题3：已知点C(t,y₁)与点D(t+3,y₂)在抛物线y= x²/2的图像上，且-10≤t≤10，则线段CD长的最大值、最小值分别是多少？

解：根据两点间公式，有：

CD=√[(t+3-t)²+( y₂-y₁)²],

=√[(3²+( y₂-y₁)²].

由于两点在抛物线上，则：

y₂-y₁=(1/2)[(t+3)²-t²]=(1/2) (2*3t+3²),

此时CD=√[3²+(1/2)²(2*3t+3²)²]

=3√[1+(1/2)²(2t+3)²],

=(3/2)√[2²+(2t+3)²]，则有：

当2t=-3时，有CDmin=3.

当t=10时，有：

CDmax=(3/2)√[2²+(2*10+3)²]

=(3/2)√533.

4、█已知两点过反比例函数情形

例题4：在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数y=5/x的图像交于点K，L两点，则直线KL长的最小值多少？

解：设K (t, 5/t)，根据交点的对称性可知，L (-t,-5/t)，

由两点距离公式有：

KL=√[(t+t)²+(5/t+5/t)²]

=√(4*t²+4*5²/t²)

=2√(t²+5²/t²)

≥2√(2*5)=2√10.

5、知识点：本题反比例函数图像在第一、三象限，过原点的直线为正比例函数，则与反比例函数的交点必在第一象限和第三象限，且这两个点的横、纵坐标分别互为相反数。

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