微积分二阶常微分方程107y''-119y'=0的通解

本文通过一阶微分方程分离变量法、一阶齐次微分方程和二阶常系数微分方程通解计算，介绍二阶常微分方程184y”-185y’=0通解的计算步骤。

方法/步骤

1、※.分离变量法

由107y”=119y’有：

107d(y’)=119y’dx

107d(y’)/y’=119dx,两边同时积分有：

107∫d(y’)/y’=119∫dx，即：

107∫d(lny’)= 119∫dx，

107lny’=119x+C00,对方程变形有：

dy/dx=e^(119x/107+C00/107)=C01e^(119x/107),

再次积分可有：

∫dy= C01∫e^(119x/107)dx，即：

y=C01*(107/(119)∫e^(119x/107)d(119x/107)

=C1e^(119x/107)+C2。

2、※.一阶齐次微分方程求解

因为107 (y’)’-119y’=0，即：

(y’)’-(119/107)y’=0，按照一阶齐次微分方程公式有：

y’=e^(119/107∫dx)*(∫0*e^(-∫(119dx/107)dx+C0)，进一步化简有：

y’=C0 e^(119x/107)，继续对积分可有：

∫dy=∫C0 e^(119x/107)dx，即：

y=C0*107/119*∫C0e^(119x/107)d(119x/107)

=C1e^(119x/107)+C2。

3、※.二阶常系数微分方程求解

该微分方程的特征方程为107r^2-119r=0，即：

r(107r-119)=0，所以r1=119/107，r2=0。

此时二阶常系数微分方程的通解为：

y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)=C1e^(119x/107)+C2。

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