如何计算函数y=cos²(46x+98)的一阶导数?

本文通过函数导数的定义、链式求导法则，以及三角函数和差化积、倍角公式、正弦函数导数、余弦函数导数公式等，介绍三种方法计算函数y=cos²(46x+98)的一阶导数。

方法/步骤

1、※.导数定义计算法

【思路】：对于函数y=f(x)，其导数的极限定义为：

f'(x)=lim(t→0)[f(x+t)-f(x)]/t，则对本题有：

dy/dx= lim(t→0){cos²[46(x+t) +98]-cos²(46x+98)}/t，分子平方差公式有：

=lim(t→0){[cos(46x+46t+98)-cos(46x+98)]*[cos(46x+46t+98)+cos(46x+98)]}/t,

2、使用三角函数和差化积对分子有：

=lim(t→0){[cos(46x+46t+98)-cos(46x+98)]*[cos(46x+46t+98)+cos(46x+98)]}/t,

=lim(t→0){-4cos[46x+98+(46t/2)]sin(46t/2)*sin[46x+98+(46t/2)]*cos(46t/2)}/t

=lim(t→0)-2cos[46x+98+(46t/2)]sin[46x+98+(46t/2)]* lim(t→0){2sin(46t/2)*cos(46t/2)}/t,

=-46lim(t→0)sin[2(46x+98)+46t]*lim(t→0)sin(46t)/(46t),

=-46*sin2(46x+98)*1=-46sin2(46x+98)。

3、※.导数公式计算法

[思路]：函数由y=u²，u=cosv，v=ax+b复合而成，即可用链式求导法则计算函数的导数。

∵y=cos²(46x+98)

∴dy/dx=2*cos(46x+98)*[cos(46x+98)]’

=-2cos(46x+98)*sin(46x+98)*(46x+98)’=-46sin2(46x+98)。

4、※  .综合方法运用

[思路]：函数y为正弦的二次函数，可以用三角函数的二倍角公式，将其降幂，再使用余弦函数的导数公式计算即可。

∵y=cos²(46x+98)=(1/2)[1+cos2(46x+98)]=1/2+(1/2)cos2(46x+98)

∴dy/dx=0+(1/2)*[-cos2(46x+98)]*92

=-(1/2)*sin2(46x+98)*92=-46sin2(46x+98)。

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