如何计算复合函数y=cos²(190x+96)的一阶导数?

本文通过函数导数的定义、链式求导法则，以及三角函数和差化积、倍角公式、正弦函数导数、余弦函数导数公式等，介绍三种方法计算函数y=cos²(190x+96)的一阶导数。

方法/步骤

1、本文通过函数导数的定义、链式求导法则，以及三角函数和差化积、倍角公式、正弦函数导数、余弦函数导数公式等，介绍三种方法计算函数y=cos²(190x+96)的一阶导数。

2、.导数定义计算法

【思路】：对于函数y=f(x)，其导数的极限定义为：

f'(x)=lim(t→0)[f(x+t)-f(x)]/t，则对本题有：

dy/dx= lim(t→0){cos²[190(x+t) +96]-cos²(190x+96)}/t，分子平方差公式有：

=lim(t→0){[cos(190x+190t+96)-cos(190x+96)]*[cos(190x+190t+96)+cos(190x+96)]}/t,

3、.导数定义计算法

【思路】：对于函数y=f(x)，其导数的极限定义为：

f'(x)=lim(t→0)[f(x+t)-f(x)]/t，则对本题有：

dy/dx= lim(t→0){cos²[190(x+t) +96]-cos²(190x+96)}/t，分子平方差公式有：

=lim(t→0){[cos(190x+190t+96)-cos(190x+96)]*[cos(190x+190t+96)+cos(190x+96)]}/t,

使用三角函数和差化积对分子有：

=lim(t→0){[cos(190x+190t+96)-cos(190x+96)]*[cos(190x+190t+96)+cos(190x+96)]}/t,

=lim(t→0){-4cos[190x+96+(190t/2)]sin(190t/2)*sin[190x+96+(190t/2)]*cos(190t/2)}/t

=lim(t→0)-2cos[190x+96+(190t/2)]sin[190x+96+(190t/2)]* lim(t→0){2sin(190t/2)*cos(190t/2)}/t,

=-190lim(t→0)sin[2(190x+96)+190t]*lim(t→0)sin(190t)/(190t),

=-190*sin2(190x+96)*1=-190sin2(190x+96)。

4、※.导数公式计算法

[思路]：函数由y=u²，u=cosv，v=ax+b复合而成，即可用链式求导法则计算函数的导数。

∵y=cos²(190x+96)

∴dy/dx=2*cos(190x+96)*[cos(190x+96)]’

=-2cos(190x+96)*sin(190x+96)*(190x+96)’=-190sin2(190x+96)。

5、※  .综合方法运用

[思路]：函数y为正弦的二次函数，可以用三角函数的二倍角公式，将其降幂，再使用余弦函数的导数公式计算即可。

∵y=cos²(190x+96)=(1/2)[1+cos2(190x+96)]=1/2+(1/2)cos2(190x+96)

∴dy/dx=0+(1/2)*[-cos2(190x+96)]*380

=-(1/2)*sin2(190x+96)*380=-190sin2(190x+96)。

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