椭球方程18x²+73y²+25z²=75的一阶和二阶导数

本文通过全微分法、直接求导、构造函数求导以及多元函数求导法则，介绍计算椭球方程的一阶和二阶导数的过程和主要步骤。

方法/步骤

1、全微分求一阶导数

∵18x²+73y²+25z²=75,

∴36xdx+146ydy+50zdz=0，即：

25zdz=-18xdx-73ydy,

dz=-18xdx/25z-73ydy/25z，所以：

dz/dx=-18x/25z，dz/dy=-73y/25z。

2、直接求导法：

18x²+73y²+25z²=75,

对方程方程两边同时对x求导，得：

36x+0+50zdz/dx=0

25zdz/dx=-18x，即：dz/dx=-18x/25z.

再对方程两边同时对y求导，得：

0+146y+50zdz/dy=0

25zdz/dy=-73y，即：dz/dy=-73y/25z.

3、构造函数求导：

F(x,y,z)=18x²+73y²+25z²-75，则：

Fz=50z，Fx=36x，Fy=146y,则：

dz/dx=-Fx/Fz=-36x/50z=-18x/25z;

dz/dy=-Fy/Fz=-146y/50z=-73y/25z.

4、(1)求二阶偏导数∂²z/∂²x:

∵dz/dx=-18x/25z，

∴∂²z/∂²x=-18/25*(z+xdz/dx)/z²

=-18/25*(z+18x²/25z)/z²

=-18/625*(25z²+18x²)/z³.

5、(2)求二阶偏导数∂²z/∂²y:

∵dz/dy=-73y/25z.

∴∂²z/∂²y=-73/25*(z+ydz/dy)/z²

=-73/25*(z+73y²/25z)/z²

=-73/625*(25z²+73y²)/z³.

6、(3)求二阶偏导数∂²z/∂x∂y:

∵dz/dx=-18x/25z，dz/dy=-73y/25z.

∴∂²z/∂x∂y =18/25*(xdz/dy)/z²

=18/25*(-73xy/25z)/z²

=-1314/625*xy/z³.

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