函数y=√x(119x+118.x)的图像示意图

     本文主要介绍根式分式复合函数y=√x(119x+118.x)的定义域、值域、单调和凸凹性等性质，并通过导数知识计算函数的单调区间和凸凹区间，画出y=√x(119x+118.x)的图像示意图。

方法/步骤

1、※.函数的定义域

∵√x有x≥0；对118/x有x≠0.

∴函数的定义域为：(0，+∞）。

※.函数的单调性

∵y=√x(119x+118/x)

=119x^(3/2)+118x^(-1/2),对x求导得：

2、∴dy/dx

=(3/2)*119x^(1/2)-(118/2)x^(-3/2)

=(1/2)x^(-3/2)(3*119x²-118).

令dy/dx=0,则x²=118/357.

又因为x>0，则x=(1/357)√42126≈0.57.

(1)当x∈(0, (1/357)√42126)时，dy/dx＜0,函数y为单调减函数；

(2)当x∈[(1/357)√42126,+∞)时，dy/dx＞0,函数y为单调增函数。

3、※.函数的凸凹性

∵dy/dx=(1/2)x^(-3/2)(3*119x²-118)，

∴d^2y/dx^2

=-3/4*x^(-5/2)(3*119x²-118)+3*119x*x^(-3/2)

=-3/4*x^(-5/2)(3*119x²-118)+3*119x^(-1/2)

=-3/4x^(-5/2)(3*119x²-118-4*119x²)

=3/4x^(-5/2)(119x²+118)>0,则：

函数y在定义域上为凹函数。

4、※.函数的极限

Lim(x→0) √x(119x+118/x)=+∞

Lim(x→+∞) √x(119x+118/x)=+∞。

5、综合以上函数的性质，函数的示意图如下：

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