如何计算三次根式3√2032的近似值?

本文主要通过穿插法、微分法、导数法以及泰勒公式法，介绍计算三次根式3√2032近似值的主要步骤。

主要方法与步骤

1、 代数形计算， 以所求立方根相邻的两个立方数，对应差成比例来，即通过通过线性穿插法求近似值。

2、本题涉及幂函数y=f(x)=³√x,有：

f'(x)=(1/3)x-2/3,f”(x)=-(2/9)x-5/3。

即：

f(x)≈f(x0)+(1/3)x0-2/3*(x-x0)-(1/9)x0-5/3*(x-x0)²。

3、对于本题，x=2031，x0=2197,x-x0=-166,代入得：

³√2031

≈f(x0)+(1/3)x0-2/3*(x-x0)-(1/9)x0-5/3*(x-x0)²

≈³√2197+(1/3)2197-2/3*(2031-2197)-(1/9)2197-5/3*(2031-2197)²

≈³√2197+(1/9)2197-5/3*(2031-2197)(4*2197-2031)

≈13-166*6757/(9*135)。

即：

³√2031≈12.6643。

4、∵dy=f'(x)dx，f(x)=³√x，

∴dy=dx/(3*³√x²），

对于本题有：

³√2031-³√2197=(2031-2197)/(3*³√21972)

³√2031=³√2197-166/(3*132)

³√2031=13-166/507

≈12.6725.

5、※.极限法计算近似值

原理：当x趋近无穷小时，有(1±x)a≈1±ax，其中a为不为1的常数。

对于本题:

³√2031=³√(2197-166）

³√2031=³√[2197(1-166/2197）]

=13*³√(1-166/2197）

=13*[1-166/(3*2197)]

=13-166/507

≈12.6725.

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