七道数学极限练习题及计算过程A4

     本经验以极限分子分母根据所求极限条件，以及使用重要极限公式lim(x→0)sinx/x=1，lim(x→0)(1+x)^(1/x)=e和三角函数公式，介绍7种不同情形下函数极限的计算过程。

主要方法与步骤

1、1.计算lim(n→∞)(12n²-17)/(21n⁴+16n-16)

解：观察所求极限特征，可知所求极限的分母此时为2，分子的次数为4，且分子分母没有可约的因子，则当n趋近无穷大时，所求极限等于0。

本题计算方法为分子分母同时除以n⁴，即：

lim(n→∞)(12n²-17)/(21n⁴+16n-16)

=lim(n→∞)(12/n-17/n⁴)/(21+16/n³-16/n⁴),

=0。

2、2.计算lim(n→∞)(41n-22n-8)/(26+4n-47n²)

解：思路一：观察所求极限特征，可知所求极限的分子分母的次数相同均为2，且分子分母没有可约的因子，则分子分母同时除以n²，即：

lim(n→∞)(41n²-22n-8)/(26+4n-47n²)

=lim(n→∞)(41-22/n-8/n²)/(26/n+4/n-47),

=(41-0)/(0-47),

=-41/47。

3、   思路二：本题所求极限符合洛必达法则，有：

lim(n→∞)( 41n²-22n-8)/(26+4n-47n²)

=lim(n→∞)(82n-22)/(4-94n)，继续使用罗必塔法则，

=lim(n→∞)(82-0)/(0-94)，

=-41/47。

4、3.求极限lim(x→1)(x³-9x+8)/(x⁴-18x+17)

解：观察极限特征，所求极限为定点x趋近于1，又分子分母含有公因式x-1，即x=1是极限函数的可去间断点，则：

lim(x→1)(x³-9x+8)/(x⁴-18x+17)

=lim(x→1)(x-1)(x²+x-8)/[(x-1)(x³+x²+x-17)],

=lim(x→1)(x²+x-8)/(x³+x²+x-17),

=(1+1-8)/(1+1+1-17),

=3/7。

5、4.求lim(x→0)(15x+19sin3x)/(12x-41sin11x)

解：思路一：本题思路主要通过重要极限公式lim(x→0)sinx/x=1应用计算而得，则：

lim(x→0)(15x+19sin3x)/(12x-41sin11x)，

=lim(x→0)(15+19sin3x/x)/(12-41sin11x/x)，

=lim(x→0)(15+57sin3x/3x)/(12-451sin11x/11x)，

=(15+57)/(12-451)，

=-72/439。

6、思路二：使用罗必塔法则计算有：

lim(x→0)(15x+19sin3x)/(12x-41sin11x)，

=lim(x→0)(15+19*3cos3x)/(12-41*11cos11x)，

=(15+19*3)/(12-41*11)，

=-72/439。

7、5.求lim(x→∞)(x²sin1/x)/(28x+25)。

解：本题思路是分子分母同时除以x，并变形使用重要极限公式lim(x→0)sinx/x=1，则：

lim(x→∞)(x²sin1/x)/(28x+25)

=lim(x→∞)(xsin1/x)/[(28x+25)/x],

=lim(x→∞)[sin(1/x)/(1/x)]/[28+(25/x)],

=1/{lim(x→∞)[28+(25/x)]},

=1/28。

8、6.求lim(x→0)(sin21x-sin37x)/sin8x.

解：思路一：对分母进行三角和差化积，再进行极限计算，有：

lim(x→0)(sin21x-sin37x)/sin8x

=lim(x→0)2cos29xsin(-8x)/sin8x,

=lim(x→0) -2cos29x,

=-2cos0=-2。

9、思路二：使用罗必塔法则计算有：

lim(x→0)(sin21x-sin37x)/sin8x,

=lim(x→0)(21cos21x-sin37cos37x)/(8cos8x)，

=lim(x→0)(21-37)/8，

=-2。

10、7.求lim(x→0)(1+9x)^(24/18x)。

解：本题主要通过使用重要极限公式lim(x→0)(1+x)^(1/x)=e计算而得，则：

lim(x→0)(1+9x)^(24/18x),

=lim(x→0){[(1+9x)^(1/9x)]}^(24*9/18),

=e^(24*9/18),

=e^12。

本文来自于百度作者：吉禄学阁，仅代表原作者个人观点。本站旨在传播优质文章，无商业用途。如不想在本站展示可联系删除