七道数学极限练习题及计算过程A12

     本经验以极限分子分母根据所求极限条件，以及使用重要极限公式lim(x→0)sinx/x=1，lim(x→0)(1+x)^(1/x)=e和三角函数公式，介绍7种不同情形下函数极限的计算过程。

主要方法与步骤

1、1.计算lim(n→∞)(9n²-16)/(3n⁴+11n-20)

解：观察所求极限特征，可知所求极限的分母此时为2，分子的次数为4，且分子分母没有可约的因子，则当n趋近无穷大时，所求极限等于0。

本题计算方法为分子分母同时除以n⁴，即：

lim(n→∞)(9n²-16)/(3n⁴+11n-20)

=lim(n→∞)(9/n-16/n⁴)/(3+11/n³-20/n⁴),

=0。

2、2.计算lim(n→∞)(9n-2n-19)/(6+16n-18n²)

解：思路一：观察所求极限特征，可知所求极限的分子分母的次数相同均为2，且分子分母没有可约的因子，则分子分母同时除以n²，即：

lim(n→∞)(9n²-2n-19)/(6+16n-18n²)

=lim(n→∞)(9-2/n-19/n²)/(6/n+16/n-18),

=(9-0)/(0-18),

=-1/2。

   思路二：本题所求极限符合洛必达法则，有：

lim(n→∞)( 9n²-2n-19)/(6+16n-18n²)

=lim(n→∞)(18n-2)/(16-36n)，继续使用罗必塔法则，

=lim(n→∞)(18-0)/(0-36)，

=-1/2。

3、3.求极限lim(x→1)(x³-37x+36)/(x⁴-6x+5)

解：观察极限特征，所求极限为定点x趋近于1，又分子分母含有公因式x-1，即x=1是极限函数的可去间断点，则：

lim(x→1)(x³-37x+36)/(x⁴-6x+5)

=lim(x→1)(x-1)(x²+x-36)/[(x-1)(x³+x²+x-5)],

=lim(x→1)(x²+x-36)/(x³+x²+x-5),

=(1+1-36)/(1+1+1-5),

=17/1。

4、4.求lim(x→0)(23x+19sin8x)/(27x-38sin9x)

解：思路一：本题思路主要通过重要极限公式lim(x→0)sinx/x=1应用计算而得，则：

lim(x→0)(23x+19sin8x)/(27x-38sin9x)，

=lim(x→0)(23+19sin8x/x)/(27-38sin9x/x)，

=lim(x→0)(23+152sin8x/8x)/(27-342sin9x/9x)，

=(23+152)/(27-342)，

=-5/9。

思路二：使用罗必塔法则计算有：

lim(x→0)(23x+19sin8x)/(27x-38sin9x)，

=lim(x→0)(23+19*8cos8x)/(27-38*9cos9x)，

=(23+19*8)/(27-38*9)，

=-5/9。

5、5.求lim(x→∞)(x²sin1/x)/(29x+16)。

解：本题思路是分子分母同时除以x，并变形使用重要极限公式lim(x→0)sinx/x=1，则：

lim(x→∞)(x²sin1/x)/(29x+16)

=lim(x→∞)(xsin1/x)/[(29x+16)/x],

=lim(x→∞)[sin(1/x)/(1/x)]/[29+(16/x)],

=1/{lim(x→∞)[29+(16/x)]},

=1/29。

6、6.求lim(x→0)(sin5x-sin13x)/sin4x.

解：思路一：对分母进行三角和差化积，再进行极限计算，有：

lim(x→0)(sin5x-sin13x)/sin4x

=lim(x→0)2cos9xsin(-4x)/sin4x,

=lim(x→0) -2cos9x,

=-2cos0=-2。

思路二：使用罗必塔法则计算有：

lim(x→0)(sin5x-sin13x)/sin4x,

=lim(x→0)(5cos5x-sin13cos13x)/(4cos4x)，

=lim(x→0)(5-13)/4，

=-2。

7、 

7.求lim(x→0)(1+4x)^(8/9x)。

解：本题主要通过使用重要极限公式lim(x→0)(1+x)^(1/x)=e计算而得，则：

lim(x→0)(1+4x)^(8/9x),

=lim(x→0){[(1+4x)^(1/4x)]}^(8*4/9),

=e^(8*4/9),

=e^(32/9)。

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